等差數(shù)列典型問題簡析備謬

摘要：通過分析典型例題，總結(jié)和歸納教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生因?qū)Φ炔顢?shù)列基礎(chǔ)概念和性質(zhì)掌握不牢固，而導(dǎo)致的對等差數(shù)列相關(guān)問題的錯(cuò)誤分析和推導(dǎo)，并積極提出改進(jìn)方法.

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；典型問題；公差

作為高中數(shù)學(xué)數(shù)列范疇的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容——等差數(shù)列，同時(shí)在我們實(shí)際生活和學(xué)習(xí)中有著廣泛而深刻的指導(dǎo)意義.因此，筆者借此對學(xué)生在等差數(shù)列學(xué)習(xí)中遇到的典型問題進(jìn)行探析和梳理，以期大家參照學(xué)習(xí).

一、公差取值考慮不全面而漏解

作為學(xué)習(xí)和運(yùn)用知識(shí)的主體——學(xué)生，由于受思維水平的限制或考慮問題不全面等的影響，在對等差數(shù)列概念的理解和性質(zhì)的判定上常常會(huì)因?yàn)閱畏矫嬲J(rèn)為公差一定大于零而產(chǎn)生漏解的現(xiàn)象.因此，在解題實(shí)踐中，我們要引導(dǎo)同學(xué)們?nèi)胬斫夤罡拍睢?zhǔn)確判斷數(shù)列性質(zhì)，譬如：假如b是a和c的等差中項(xiàng)，同時(shí)滿足lg（a+1），lg（b—1），lg（c—1）為等差數(shù)列，而且abc=15，那么a，b，c各是多少？

解題實(shí)踐中筆者發(fā)現(xiàn)許多同學(xué)會(huì)誤解如下：

解：∵2b=ac，abc=15，

∴3b=15，b=5，

設(shè)a，b，c的公差為d，則a=5—d，c=5+d，

∵2lg（b—1）=lg（a+1）+lg（c—1），

∴2lg4=lg（5—d+1）+lg（5+d—1）=lg[25—（d—1）2]，

∴16=25—（d—1）2，

∴（d—1）2=9，

∴d—1=3，d=4，

∴a，b，c依次為1，5，9.

我們通過認(rèn)真分析等差數(shù)列中公差的取值方法和概念意義等內(nèi)容，就會(huì)發(fā)現(xiàn)以上解法中當(dāng)（d—1）2=9時(shí)，就莽撞地開平方得出d—1=3，這種單純地取算術(shù)平方根的解法是不全面的.而全面準(zhǔn)確解答如下：

解：∵2b=ac，abc=15，

∴3b=15，b=5，

設(shè)等差數(shù)列a，b，c的公差為d，則a=5—d，c=5+d.

∵2lg（b—1）=lg（a+1）+lg（c—1），

∴2lg4=lg（6—d）+lg（4+d），

∴16=25—（d—1）2，

∴（d—1）2=9得出d—1=3或—3，

∴d=4或—2，∴a，b，c的值依次是1，5，9或7，5，3.

二、未能全面理解等差數(shù)列的性質(zhì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤

某等差數(shù)列a中，假設(shè)m，n，p，q∈N，并滿足m+n=p+q，那么am+an=ap+aq.但同學(xué)們在這類問題的解答過程中，通常會(huì)錯(cuò)誤地將結(jié)果歸納為an=ap+aq.因此，一線教師必須在典型解決問題的基礎(chǔ)上，時(shí)刻注意積極指導(dǎo)同學(xué)們正確全面地理解等差數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)而掌握解答等差數(shù)列問題的兩種最廣泛、最基本的性質(zhì)：（1）如果m+n=p+q（m，n，p，q∈N），則必有am+an=ap+aq（反之亦然）；（2）如果=p（m，n，p∈N），那么肯定有am+an=2ap。歸納總結(jié)讓同學(xué)們能夠熟記掌握并運(yùn)用.

例題.如果an是等差數(shù)列，an=q，aq=p（p≠q），試求ap+q.

有的同學(xué)因?yàn)椴荒苋嬲_理解等差數(shù)列的性質(zhì)便進(jìn)行了如下錯(cuò)解：

∵an是等差數(shù)列，∴ap+q=ap+aq=p+q

此時(shí)，筆者及時(shí)引導(dǎo)大家復(fù)習(xí)等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，同學(xué)們對自己犯下的錯(cuò)誤恍然大悟，并積極探索正確的解題過程：

解：∵ap=a1+（p—1）d，aq=a1+（q—1）d，

∴a1+（p—1）d=q ①，

a1+（q—1）d=p ②，

由①—②得（p—q）d=q—p組成方程組，

∵p≠q，∴d=—1代入①得

原式=a1+（p—1）×（—1）=q

∴a1=p+q—1∴ap+q=a1+（p+q—1）d=（p+q—1）+（p+q—1）（—1）=0

筆者為了讓學(xué)生熟練掌握并運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，在及時(shí)糾正以上問題解答方案后，還設(shè)置了如下問題“假設(shè)某等差數(shù)列由5個(gè)數(shù)組成，其總和為25，其平方和為165，那么這5個(gè)數(shù)分別是多少”.該問題直觀簡單，但是可形象地將等差數(shù)列的性質(zhì)展現(xiàn)給學(xué)生，讓大家展開有效的訓(xùn)練，從而掌握運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)高效解答類似問題的方法和技能.

三、不能全面正確理解和掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

作為等差數(shù)列性質(zhì)內(nèi)容的重要組成部分——等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)是同學(xué)們?nèi)胬斫獠⒄莆盏炔顢?shù)列基礎(chǔ)知識(shí)和準(zhǔn)確解決等差數(shù)列相關(guān)問題非常重要的方法和手段.但是教學(xué)實(shí)踐中許多同學(xué)往往因?yàn)閼T性思維，在解決等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和Sm的過程中，往往把Sm，S2m—Sm，S3m—S2m成等差數(shù)列當(dāng)作Sm，S2m，S3m成等差數(shù)列錯(cuò)誤處理.如學(xué)習(xí)“如果等差數(shù)列an中，Sm=10，S2m，求S3m”問題時(shí)，筆者先引導(dǎo)同學(xué)們要注意避免將“等差數(shù)列Sm，S2m—Sm，S3m—S2m，誤當(dāng)作Sm，S2m，S3m成等差數(shù)列來處理.于是，同學(xué)們通過聯(lián)系等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得出正確的解題方法：

解：由條件得Sm=10，S2m—Sm=20，由性質(zhì)得S3m—S2m=30，因此S=60.

通過對等差數(shù)列經(jīng)典問題的紕漏分析，我們可有效地提升學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力和推理能力，讓大家徹底掌握運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)來分析和解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題.這就要求我們一線數(shù)學(xué)教師要善于尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)問題，實(shí)行有針對性、有實(shí)效的提升學(xué)生解題能力的教學(xué)方案，最終培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]索云旺.對等差（比）數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的思考.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010（8）.

[2]余錦銀.在平凡中凸現(xiàn)新課標(biāo)理念：“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)實(shí)錄及其反思.中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（10）.

（作者單位 江蘇省徐州市第一中學(xué)數(shù)學(xué)組）