巧解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

一、二次函數(shù)法

等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=a1n+n是關(guān)于常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，因此其最值可以轉(zhuǎn)化成求二次函數(shù)的最值（切記n∈N+）.

二、通項(xiàng)公式法

“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和，即由不等式組an≥0an+1≤0或an≤0an+1≥0能確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）（切記n∈N+），從而求出其最值.

例.在等差數(shù)列an中，已知a1=25，S17=S9，求Sn的最大值及此時(shí)的n值.

解法一：由a1=25S17=S9得d=—2

點(diǎn)評(píng)：解法一用二次函數(shù)最值求解；解法二利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性求解；解法三、四用通項(xiàng)公式法求解.若能有意識(shí)、有目的地對(duì)這些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行深入的分析領(lǐng)悟，往往能起到以小見(jiàn)大、以淺見(jiàn)深、以窄見(jiàn)寬、以點(diǎn)見(jiàn)面的效果，從而達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新能力、復(fù)習(xí)鞏固的目的.

變式訓(xùn)練：

1.若an是等差數(shù)列，a1>0，a2012+a2013>0，a2012·a2013<0，則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)是 .（答案：4024）

2.在等差數(shù)列an中，滿足3a4=7a7，且a1>0，Sn是數(shù)列an前n項(xiàng)的和，若Sn取得最大值，則n= .（答案：9）

（作者單位 湖北省十堰市鄖西縣第四中學(xué)）