求數列的通項方法探討

an+1=kan+j·bn+l型數列，其中k，j，b，l為常數，在高考模擬考等考試中常常出現，下面對其通項的求法進行探討.

一、當j=0時，an+1=kan+l型（簡稱1型）

1.當k=1時，an+1=an+l，數列an是等差數列，其通項為an=a1+（n—1）l.

2.當k≠0，l=0時，an+1=kan，數列an是等比數列（a1≠0）.

3.當k≠0且k≠1，l≠0時，an+1=kan+l，數列是等比數列.

為什么一定能轉化為等比數列呢？學生不是十分清楚，所以有必要加以說明.

由an+1=kan+l可知點（an，an+1）在直線y=kx+l上；因為k≠1，直線y=kx+l與直線y=x不平行，所以方程組y=kx+ly=x有唯一解；設其的解為x=my=m，可得點（m，m）；點（an，an+1）和（m，m）都在直線y=kx+l上，由直線的斜率公式得=k（an≠m）.

由以上分析可得m值簡便算法：把an+1=kan+l中的an，an+1都用m替換，即m=km+l，解得m

例1.已知在數列an中a1=1，an+1=3an+2，求數列an的通項.

解：（1）設=3，由m=3m+2，可得m=—1，

∴=3，即an+1構成以a1+1為首項，公比為3的等比數列.

∴an+1=（a1+1）·3n—1，∴an=2·3n—1—1.

二、當l=0時，an+1=kan+j·bn型（簡稱2型）

an+1=kan+j·bn型可轉化為1型.將式子an+1=kan+j·bn兩邊都除以bn+1于是，即，可由求得常數m值.得數列an—m·bn是等比數列.

例2.已知在數列an中a1=1，an+1=an+3·2n，求數列an的通項.

解：由an+1=an+3·2n

∴an—3·2n=—5·1n—1，∴an=3·2n—5

三、當j≠0且l≠0時，an+1=kan+j·bn+l型（簡稱3型）

當j≠0且l≠0時，an+1=kan+j·bn+l型可看成1型和2型的復合，可轉化為=k，其中m的值由an+1=kan+j·bn求得，m′的值由an+1=kan+l求得.數列an—m·bn—m′是等比數列.其復合過程如下：

由上可知，an+1=kan+j·bn+l型數列可化歸為等比數列，從而使問題得到解決.其中1型是基礎，常數m就是直線y=kx+l上橫坐標和縱坐標相等點的坐標；2型可化為1型，3型可看成1型與2型的復合.

（作者單位 新疆維吾爾自治區吐魯番地區實驗中學）