審題是解題的關鍵

解題的第一步是審題，它是整個解題的基礎，也是最重要的一個環節.審題就是要求學生仔細閱讀題目，對問題進行全面的認識，理清哪些是已知的，哪些是未知的，哪些是要求的結論，它們之間有什么內在聯系？準確、充分地感知題目信息是解題成功的前提條件.有數學家講過：“善于解題的人，用一半的時間來審題，而用另一半時間來完成解題.”可見審題在解題中的重要性，但它卻常常被學生忽視.下面談談學生在審題階段的幾種常見錯誤：

一、抓不住關鍵詞

學生在解題中匆匆讀題后就急于下手的情況很普遍，常出現因抓不住關鍵詞而導致解題錯誤.

例1.已知直線l1：3x—y+12=0和l2：3x+2y—6=0，求直線l1和l2 及y軸所圍成的三角形面積.

錯答：18

剖析：錯答的主要原因是：學生審題時犯了粗心的毛病，把題目中的關鍵詞“y軸”誤認為是“x軸”，導致解題結果為：18.這種錯誤的原因是：注意功能失調導致注意范圍狹隘，觀察不周.正確答案是：9.

二、數學概念模糊不清

常見的表現有：（1）對基本數學概念理解不透徹；（2）對鄰近概念辨別不清.

例2.過點P（2，1）且與兩坐標軸所圍成的三角形面積為4的直線方程.

誤解：設所求直線l的方程為=1，

∵點P（2，1）在直線l上，∴a=4b=2，

故所求的直線l的方程為，即直線l的方程為：x+2y—4=0.

剖析：錯解把截距與距離混為一談，是對截距的概念模糊不清.事實上，直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積

正解：設所求直線l的方程

∵點P（2，1）在直線l上，

∴a·b=8或a·b=—8

若a·b=8，故所求直線l的方程：x+2y—4=0.

三、忽視公式、定理成立的條件

形式地記憶公式、定理，對其本質缺乏深刻理解，因此不考慮是否具備應有條件，生硬地加以套用常常會造成解題錯誤.

例3.直線l1：（a+2）x+（1—a）y=3，l2：（a—1）x+（2a+3）y+2=0垂直，求a.

誤解：—1

剖析：兩直線垂直等價于兩直線的斜率的積k1·k2=—1，同時兩直線的斜率就認為是k1=k2=忽視了其成立的條件，生硬地加以套用造成了錯誤.該題的正確答案是：1或—1.

例4.經過P（4，5），且在兩坐標軸的截距相等的直線方程為________________。

誤解：x+y—9=0

剖析：直線在兩坐標軸上的截距相等，故直線方程可設，忽視了使用這種形式的直線方程截距不為0的前提條件。該題的正確答案是：5x—4y=0或x+y—9=0。

四、增添潛在假設

“潛在假設”作為一種曲解題意的錯誤表現，它不是深思熟慮或不加考察的結果，而是對某些事物尚未建立清晰概念而在頭腦中自動形成的。置身于新環境的人，當他們對新事物尚未認識清楚時，過去的經驗很可能促成一種“潛在假設”而影響他的正確思維。

例5.已知直線l：（m2+1）x+（m2—m+1）y—（4m2—3m+4）=0，圓C：（x+1）2+（y+1）2=4，試判斷直線l與圓C的位置關系。

誤解：直線l的方程可化為：m2（x+y—4）+m（—y+3）+x+y—4=0

令x+y—4=0—y+3=0

∴x=1y=3，

∴直線l恒過定點P（1，3）

∵（1+1）2+（3+1）2=20>4，

∴點P（1，3）在圓C：（x+1）2+（y+1）2=4的外部。

∴直線和圓的位置關系可以相交、相切或相離。

剖析：實際上，這種解法增加了“潛在假設”。原直線方程僅表示平面內過定點P（1，3）的部分直線，故直線系中的直線和圓的位置關系除了和定點P（1，3）與圓的位置有關外，還和直線斜率的取值有關。對于“潛在假設”，要從多方面、多角度加以分析，用多種方法或特例進行檢驗，防患于未然。

正解：點P（1，3）在圓C：（x+1）2+（y+1）2=4的外部。

五、隱含條件挖掘不夠

解題離不開條件，解題條件大致可分為明條件和暗條件兩類。明條件是指題目中直接給出的條件，一般它是解題的主要依據；暗條件是指題目中那些若明若暗、含而不露的已知條件，或者從題設中不斷挖掘并利用條件進行推理和變形而重新發現的條件，隱含條件，一般不易被發覺，但是它在解題中的作用不可忽視。許多數學題，它不是把所有的條件都直接明了地告訴學生，而是把某些條件隱含在習題的其他條件、結論或數學式子當中。

例6.已知兩圓的方程分別為（x—2）2+y2=16和（x+1）2+（y—4）2=4，則下列命題正確的是（ ）

A.兩圓的公共弦所在的直線方程為3x—4y+14=0

B.兩圓的外公切線方程為3x—4y+14=0

C.兩圓的內公切線方程為3x—4y+14=0

D.以上命題都不正確

誤解：若設點（x1，y1）、（x2，y2）為此兩圓的交點，通過設而不求的思想，得出兩點（x1，y1）、（x2，y2）坐標一定滿足方程3x—4y+14=0，又過兩點能確定一條直線，故方程3x—4y+14=0為兩圓的公共弦所在的直線的方程，故選A。

剖析：回顧該學生的解題過程，不但看似天衣無縫，而且應用了設而不求的思想方法，減少了運算量，但仔細推敲，兩圓一定相交嗎？此解錯在隱含條件挖掘不夠，由兩圓的方程可得圓心距等于此兩圓的半徑之和，兩圓外切，故選A顯然不正確。該題的正確答案選C。

綜上，在解題教學中，教師要特別重視“審題”這一環節的教學，不斷強化學生的審題意識，指導審題方法，培養學生良好的審題習慣，提高學生的審題能力，并把它作為重要內容之一進行訓練。學生在解題時要做到：

1.讀題時認真細致，對一些關鍵的詞句應特別注意，要求做到“咬文嚼字”，切忌盲目答題。

2.試題中的隱含條件具有一定的隱蔽性，它對解題的影響很大，把隱含條件挖掘出來，常常是解題的關鍵所在，審題時若注意挖掘和利用題中的隱含條件，不但能突破難點找到解題方法，而且可以優化解題過程，平時在教學中教師要有意識地對學生做好這方面的訓練。

3.對較為熟悉的題目，要仔細地比較與以往做過題目的異同，切忌盲目地模仿做題。

4.遇到新題目，要認真分析題意，弄清已知和未知的聯系，并進行合理的推測、聯想、轉化，然后找到解題的突破口，切忌想當然地解題。

總之，審題能力的培養既要潛移默化地熏陶，又要著重進行訓練。當然，在培養審題能力的過程中，讓學生打下扎實的知識功底也是必不可少的，因為扎實的知識功底是正確審題的前提。因此，培養學生的審題能力是一項艱巨的任務，需要教師在教學過程中不斷探索，總結經驗，改進方法。

（作者單位 江蘇省南菁高級中學）