立體幾何學習中的困難分析及教學建議

立體幾何是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科。采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質。三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力是高中階段數學必修系列課程的基本要求。

一、學生在立體幾何學習中的困難分析

學生在初中學過平面幾何，掌握了大量的平面幾何知識，進行過一定量的邏輯推理訓練，為學習立體幾何打下了基礎。但學習立體幾何不僅需要較強的邏輯思維能力，還需要豐富的空間想象能力。學生常感到立體幾何難學，究其原因主要有幾點：

1.消極心理的影響

“代數繁，幾何難”，在學生中廣為流傳，使不少學生還未學習立體幾何就已經產生了畏懼心理，他們對學好立體幾何信心不足，對怎樣學習心中無底，這種消極心理必然會給學生造成消極影響。

2.思維定式的束縛

受初中所學平面幾何時形成的思維定式的束縛，常將平面幾何中的概念、定理照搬照用。

3.缺乏空間想象力

缺乏空間想象力，常將空間問題看成平面問題，作圖、識圖難。作圖中不知何時該用實線，何時該用虛線，作出的圖形缺乏立體感。識圖中相交、異面分不清，大角、小角分不清，是否平行、垂直分不清。

4.缺乏邏輯思維能力，證題思路亂

不是條件遺漏，就是條件堆積，前后矛盾，文不對題。

二、幾點教學建議

1.消除畏難情緒，激發學習興趣

（1）開好頭，消除學生對立體幾何的神秘感。立體幾何第一課首先讓學生觀察桌面、地面、教室、球、墨水瓶、紙張等生活中每天都能接觸到的物體，體會它們的形狀、特征等，然后向學生指出：立體幾何所要研究的對象就是這些幾何體，從而縮短了學生與立體幾何的距離，消除學生對立體幾何的神秘感，使學生樂于接受它。其次，向學生介紹立體幾何知識在建造廠房、制造機器、修筑堤壩等生產實踐中的廣泛應用，使學生認識到學好立體幾何的重要意義，產生學好立體幾何的愿望。

（2）循序漸進，不斷制造成功機會，使每一個難點的突破成為學生獲得成功的喜悅點，從而形成穩定、持久的學習興趣。

2.動手做、多觀察、勤思考，提高空間想象能力和幾何直覺能力

（1）“動手做”，就是要求學生動手設計數學模型，動手畫圖。學生通過用紙板、鐵絲等材料做正方體、長方體、棱柱、棱臺、棱錐等實物模型，親身體驗柱體、錐體的結構特征。但“做”出的幾何體只是給人直觀感覺，要把這種直觀感覺在紙面體現，還需要動手畫，通過仔細觀察實物，畫水平放置的正五邊形的直觀圖，畫正方體、棱柱、棱臺、棱錐等幾何體的直觀圖，再對照辨析，使學生弄清圖中實線、虛線應用及它們的關系，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系。通過這樣的訓練，使學生進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，提高學生將自然語言轉化為圖形語言和符號語言的能力，培養學生的空間想象能力和幾何直覺能力。

（2）“多觀察”，就是多看教科書，多觀察、比較各種各樣的實體、模型和圖形，可讓學生觀察辨認、直觀感知，判斷空間幾何體的類型。學生通過用眼觀察，識別空間幾何體，加深對幾何體特征的認識，從而掌握簡單幾何體的概念；比較標準圖形與變式圖形（課本中用以表達定義、定（公）理的圖形，線面都是水平或豎直放置的，圖形具有簡明、美觀的特點，可謂標準圖形，而在具體題目中，平面、直線的位置發生了變化，與標準圖形有一定的差異，我們稱之為變式圖），掌握標準圖形的本質，畫出標準圖形的各種變式圖形，這樣可幫助學生在線面位置變化時能看清問題的本質，靈活運用學過的定義、公式及定（公）理，提高空間想象能力與圖形的把握能力。

（3）“勤思考”，就是在平時看到實體和幾何圖形時，要積極思考，不僅能把實體轉化成幾何模型，能在大腦中“想”出空間圖形，想通各部分圖形之間的關系，也能根據幾何圖形，還原出實體，想通幾何圖形中的線面等圖形在實體中的相應位置關系，學會準確地使用數學語言表述幾何對象的位置關系。

豐富的空間想象能力和幾何直覺能力是學好立體幾何的前提。空間圖形作為立體幾何的一種特殊語言，它不僅能使學生加深對概念、公理、定理的理解，準確無誤地作出圖形還有利于學生對習題的分析。實踐證明，動手做、多觀察、勤思考，是培養和提高學生的空間想象能力和幾何直覺能力的有效途徑。

3.加強推理教學，提高學生的推理論證能力

學好立體幾何的關鍵是能直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系，用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定。而對空間點、線、面的位置關系及有關平行、垂直的結論論證，是培養和發展學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力的有效途徑。

在教學中要認真講好課本中定理證明及每一道例題。課本中的例題具有示范作用，在講解例題的過程中，不僅要讓學生說出每步的理論依據，用例題的格式規范學生的解題，還要從不同的角度對例題進行研究、探討、變換形式，探索各種不同的解題途徑，尋求其多種解法，引導、啟發學生發現知識間的內在聯系，獲得一系列的數學思想方法和基本技能，逐步提高學生的邏輯推理能力和數學表達能力。

4.強化化歸思想的運用，提高解立體幾何題的能力

解立體幾何題的基本思路就是通過類比與轉換。在證明平行和垂直問題時，涉及線線、線面、面面關系間的相互轉化，在解決一些計算題時，涉及平面圖形和空間圖形的相互轉化。如，要證明線面垂直可以轉化成證明線線垂直或面面垂直；要證明線面平行可以轉化成證明線線平行或面面平行（參考案例1）；要求異面直線的距離，可以轉化成求線面距離或面面距離（參考案例2）；求異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角等，可以轉化為平面上的角；求表面積可將幾何體的表面展開，轉化為平面圖形的面積問題等。“轉化”思想是聯系線線、線面、面面位置關系的強有力的紐帶，貫穿于立體幾何學習的全過程。

參考案例1：如圖1，正方體A1B1C1D1—ABCD中，E、F是對角線A1D、B1D1的中點，試判斷直線EF分別與正方體六個面中哪些平面平行，并證明你的結論。

解：（1）EF∥平面D1C1CD；（2）EF∥平面A1B1BA。

證明如下：

（1）連接A1C1、C1D，∵E是B1D1的中點，∴E是A1C1的中點，

又∵F是A1D的中點，∴EF是△A1C1D的中位線，

（2）連接D1A、AB1，同理可證，EF∥平面A1B1BA。

參考案例2：正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線A1C1與AB1間的距離。

解：如圖2，在正方體AC1中，

∵ A1C1∥AC，∴ A1C1∥平面AB1C，

∴ A1C1與平面AB1C間的距離等于異面直線A1C1與AB1間的距離。

連結B1D1、BD，設B1D1∩A1C1=O1，BD∩AC=O

∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D

∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，

連結B1O，則平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O

作O1G⊥B1O于G，則O1G⊥平面AB1C

∴O1G為直線A1C1與平面AB1C間的距離，即為異面直線A1C1與AB1間的距離。

在Rt△OO1B1中，∵O1B1OO1=1，

（作者單位 江蘇省司法警官高等職業學校）