“遞推法”在高考物理壓軸題中的應用

應用數學處理物理問題的能力是高考物理考核的主要能力之一，凡是中學階段學到的數學知識，都可能成為解決高考物理試題的工具。在高考物理壓軸題中，要求考生正確分析試題所給的物理現象、物理過程，運用所學物理知識進行列式、推導、求解。而“遞推法”由于本身特點，自然成為高考物理壓軸題中的熱門方法，遞推法適用物體間有多次相互作用且運動具有重復性的情境，現舉例說明“遞推法”在高考物理壓軸題中的應用。

例1（2010年高考理綜（北京卷）24題）雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結合為一體，其質量逐漸增大。現將上述過程簡化為沿豎直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始質量為m0，初速度為v0，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質量變為m1。此后每經過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質量依次為m2、m3……mn……（設各質量為已知量）。不計空氣阻力。（1）若不計重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn'；（2）若考慮重力的影響，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和v1'；b.求第n次碰撞后雨滴的動能■mnvn'2。

解：（1）不計重力，全過程中動量守恒，m0v0=mnvn'

得v'n =■v0

（2）計重力，雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運動，碰撞瞬間動量守恒

a.第1次碰撞前v12=v02+2gl，v1=■

第1次碰撞后m0v1=m1v1'，v1'=■v1=■■①

b.第2次碰撞前v22=v1'2+2gl利用①式化簡得

v22=(■)2v02+(■)2gl ②

第2次碰撞后，利用②式得v2'2=(■)2v02=(■)2v02+(■)2gl

同理，第3次碰撞后 v3'2=(■)2v02+(■)2gl

……

第n次碰撞后vn'2=(■)2v02+■2gl

動能■mnvn'2=■(m0v02+2gl■mi2)

例2（09年高考理綜（北京卷）24題）如圖所示，ABC為一固定在豎直平面內的光滑軌道，BC段水平，AB段與BC段平滑連接。質量為m1的小球從高位h處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止在軌道BC段上質量為m2的小球發生碰撞，碰撞后兩球兩球的運動方向處于同一水平線上，且在碰撞過程中無機械能損失。求碰撞后小球m2的速度大小v2；

■

（2）碰撞過程中的能量傳遞規律在物理學中有著廣泛的應用。為了探究這一規律，我們采用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直線上、且無機械能損失的簡化力學模型。如圖所示，在固定光滑水平軌道上，質量分別為m1、m2、m3……mn-1、mn……的若干個球沿直線靜止相間排列，給第1個球初能Ek1，從而引起各球的依次碰撞。定義其中第n個球經過依次碰撞后獲得的動能Ek與Ek1之比為第1個球對第n個球的動能傳遞系數k1n

a·求k1n；b·若m1=4m0，mk=m0，m0為確定的已知量，求m2為何值時，k13值最大。

解：（1）設碰撞前的速度為v10，根據機械能守恒定律得

m1gh=■m1v102 ①

設碰撞后m1與m2的速度分別為v1和v2，根據動量守恒定律 m1v10=m1v1+m2v2 ②

由于碰撞過程中無機械能損失■m1v102=■m1v12+■m2v22 ③

①、②、③式聯立解得 v2=■ ④

將①代入④ 得

v2=■

（2）a.由④式，考慮到Ek1=■m1v210和Ek2=■m2v22，根據動能傳遞系數的定義，

對于1、2兩球 k12=■=■ ⑤

同理，球m2和m3球碰撞后，動能傳遞系數k13應為

k13=■=■·■=■·■ ⑥

依次類推，■

■

解得■

b.將m1=4m0，m3=m0代入⑥式可得

■為使k13最大，只需使

■最大，即■取最小值；由■可知：當■即■最大。

通過上述例題可以發現，當物體間有多次相互作用且運動具有重復性時，需要用遞推法來處理，解決這類問題的關鍵是找出通項式，其處理方法是：可以按物體間相互作用的先后順序，列出前幾次運動關系式，歸納出通項式，也可選取有代表性的任一物理過程分析，根據物理規律直接求出通項式，如例3，達到解決問題的目的。

總之，遞推法是分析和解決高考物理試題的常用方法，這種解題方法要求比較高，在平時訓練中應當有意識地進行總結積累，對于參加物理高考的學生，應當深刻領會這一方法并能熟練應用。

（作者單位：云南省麗江師范高等?？茖W校數理系）