巧用輔助圓,活解直線題

學(xué)生在解直線型問題時，有時會很難解決，甚至?xí)譄o策或感到無從下手，這時如果添上必要的輔助線，有時問題便會迎刃而解，因此輔助線在解決幾何命題中會起到非常有效的作用，而合理而巧妙地構(gòu)造輔助圓則可以將某些直線類問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，從而開拓解題思路，使得這些問題的解決更靈活簡單，下面就介紹幾種添加輔助圓的方法：

一、遇與某點等距定外接圓

若在命題的條件中有幾點與某點等距，可以利用圓的定義作其外接圓。

例1 已知：四邊形ABCD中，AB=AC=AD=a，CD=b，

AD//BC。求： 四邊形對角線BD的長。

略解：以A為圓心，a為半徑畫⊙A，延長DA

交 ⊙A于E點，連結(jié)BE。

∵AB=AC=AD=a ，∴B，C，D三點

都在⊙A上，

∵DE//AC，∴CD=BE，

∴CD=BE=b，DE=2AD=2a，

∴DE為⊙A直徑，∴∠DBE=90°，

∴BD==。

二、遇有等角作外接圓

若三角形中有等角，用直線型定理又難以解決時，可考慮給三角形作外接圓。

例2 已知：在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且∠FBC=∠ECB=∠A。

求證：BE=CF。

略解：作△ABC的外接圓，延長

CE、BF分別交圓于G、H，連結(jié)BG、CH，

∵∠FBC=∠ECB=∠A，

∴∠1= ∠2=∠FBC+∠ECB =∠A，

易得∠G=∠1=∠2=∠H，BG=HC=CD，

又∵∠３＝∠４，

∴△BGE≌△CDF ，

∴BE=CF。

三、遇有倍角可構(gòu)造外接圓

有些關(guān)于三角形問題中含有條件是倍角關(guān)系，這些問題若借助于三角形外接圓，用圓的性質(zhì)來解決，思路簡潔，解法新穎，易于掌握。

例3 已知：△ABC中，∠ACB=2

∠ABC，求證：AB＜２AC。

略解：如圖，作△ABC的外接圓，

作∠C的角平分線交圓于D，

連結(jié)AD，BD，CD， 則BD=AD=AC，

∴AB

四、遇有直角或角互余，用外接圓

例4 已知在△ABC中，AD是BC邊上中線，且∠B與∠CAD互余，問△ABC是怎樣的三角形？

略解：作△ABC的外接圓，圓心為O，延長AD交⊙O于E，連結(jié)CE，則∠AEC=∠B，

又∵∠B+∠CAD=90°，∴∠ACE=90°， ∴AE是⊙O的直徑。

（1）如圖1，如果O與D不重合，則OB=OC，OD⊥BC， 即AD⊥BC，

∴△ABC為等腰三角形。

（2）如圖2，如果O與D重合，則BC也是直徑，

∴△ABC是直角三角形。

五、遇外心套外接圓

條件中遇到三角形外心，但沒有給出外心的具體位置，可利用條件作這個外接圓。

例5 證明三角形的任一頂點到垂心的距離等于外心到這個頂點對邊距離的兩倍。

略解：如圖，根據(jù)命題的條件作出△ABC，而AD，BE，CG分別是△ABC邊BC，AC，AB上的高，O為△ABC的外心，H為△ABC的垂心，連結(jié)CO，并延長交外接圓于F， 連結(jié)BF，AF，作OM⊥BC，垂足為M，則可得OM為△FCB的中位線，

∴BF=2OM，

∵在四邊形AFBH中，BH⊥AC，F(xiàn)A⊥AC，

∴FA//BH，

∴四邊形AFBH為平行四邊形，

∴FB=AH，

∴AH=2OM。

六、遇垂心想共圓

利用垂心（三角形中三條高線之交點）這個條件，

注意四點共圓的靈活運用。

例6 已知，如圖在△ABC中，H為垂心，∠B=60°，連結(jié)兩垂足D，E。

求證：DE=AC。

略解：取AC的中點K，連結(jié)DK，KE，CD⊥AB，AE⊥BC

∴DK=AC=EK ，

∴A，D，E，C 四點共圓，且K為圓心。

∴∠DKE=2∠DCE=60°，

∴ △DKE為等邊三角形

∴ DE=DK=AC。

七、正多邊形問題多往其外接圓靠

正多邊形都有一個外接圓，因而可以利用圓的特有性質(zhì)，將多邊形問題化難為易。

例8 已知：正多邊形ABCDE的兩條對角線AC和BE相交于P。

求證：BC=PC。

略證：作出正多邊形ABCDE的外接圓，

于是∠1 (CD+DE)，

∠2=∠3+∠4 BC+AE=(BE+AE)，

∴CD=DE=BC=DE，

∴CD=DE=BC=AE，

∴∠1=∠2，∴BC=PC。

添加輔助圓的方法不僅僅是上述這些，但作輔助圓的目的都是通過添圓實現(xiàn)從未知到已知的轉(zhuǎn)化，只要掌握其基本規(guī)律或方法，在“山重水復(fù)疑無路”時，就會出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的境界。

（作者單位：浙江省寧波市東恩中學(xué)）