巧選正交分解法的坐標軸

【摘 要】正交分解法是解決物理學中矢量問題的最有力的工具。在求合力、共點力的平衡、牛頓運動定律的運用及勻速圓周運動中都會用到正交分解法。正交分解法中，坐標軸選擇的好壞關乎到所列方程的簡潔和代數運算的簡便。

【關鍵詞】正交分解法；坐標軸的選取

正交分解法是解決物理學中矢量問題的最有力的工具，正交分解法運用“欲合先分”的策略，降低了運算的難度，是解題中的一種重要思想方法。在運用正交分解法討論或計算物理問題時，關鍵是坐標軸的選取。

【例1】如圖1，質量為m的人，站在自動扶梯上，已知鞋底與扶梯臺階間的動摩擦因數是μ，扶梯與水平面的夾角是θ。人隨扶梯以加速度a一起向上運行。人受的支持力大小為__________，摩擦力大小為__________。

分析與解一：因人隨扶梯以加速度a一起向上運行，故人受豎直向下的重力、豎直向上的支持力、水平向右的靜摩擦力。如選沿a方向為x軸正方向，垂直a方向為y軸正方向時則須分解三個力，如圖2，則有方程組：

Fx=fcosθ+Nsinθ-mgsinθ=ma①

Fy=Ncosθ+mgcosθ-fsinθ=0②

解此方程組需用如下方法：

①×sinθ+②×cosθ得：

N=masinθ+mg③

①×cosθ-②×sinθ得：

f=macosθ ④

分析與解二：上兩式方程立式繁瑣，計算繁難，而圖中N、G均與f垂直，故可選如圖3所示的坐標軸，這樣就只需將a進行水平豎直兩個方向的正交分解，則有方程組：

Fx=f=max=macosθ⑤

Fy=N-G=may=masinθ ⑥

很簡單的立方程很簡捷的計算（只需移項），解得：N=mg+masinθ，f=macosθ

說明：例1的解法中所選的坐標軸方向實質上就是選人站在扶梯上時沿兩者的接觸面和垂直于接觸面兩個方向為x、y坐標軸方向，那么這種選擇真的就能使所列方程簡潔，計算簡便嗎？下面再通過兩條例題進行研究：

【例2】一物體放置在傾角為θ的斜面上，斜面固定于加速上升的電梯中，加速度為a，如圖4所示。在物體始終相對于斜面靜止的條件下，下列說法中正確的是（ ）

①當θ一定時，a越大，斜面對物體的正壓力越小

②當θ一定時，a越大，斜面對物體的摩擦力越大

③當a一定時，θ越大，斜面對物體的正壓力越小

④當a一定時，θ越大，斜面對物體的摩擦力越小

A.①③ B.②④

C.①④ D.②③

分析與解一：物體受力情況如圖5所示，通常選a的方向為x軸正方向，水平向右方向為y軸正方向，則有方程組：

Fx=fμsinθ+FN cosθ-mg=ma①

Fy=fμcosθ-FN sinθ=0②

解此方程組同樣如例1的解一：

①×sinθ+②×cosθ得：

Fu=m(g+a)sinθ③

①×cosθ-②×sinθ得：

FN=m(g+a)cosθ④

由③式可知：θ一定時，a越大，Fμ越大；a一定時，θ越大，Fμ越大。

由④式可知：θ一定時，a越大，FN越大；a一定時，θ越大，FN越小，故選D。

分析與解二：而如果選沿接觸面和垂直于接觸面兩個方向為x、y坐標軸，如圖6所示，將需將加速度沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向分解，則有方程組：

Fx=Fμ-mgsinθ=max=masinθ⑤

Fy=FN-mgsinθ=may=macosθ⑥

此方程組同樣只需移項就可很簡單的得到解一中的答案③④。

【例3】如圖7所示，一個光滑的圓錐體固定在水平面上，其軸線沿鉛直方向，母線與軸線間夾角θ=30°。一條長為l的輕質細繩，一端固定在錐體頂點0處，另一端拴著質量為m的小球，球以速率v繞錐體軸線作水平勻速圓周運動.求：當v=時，繩對球的拉力及錐面對球的支持力。

分析與解一：物體受力情況如圖8所示，若選向心加速度an的方向為x軸正方向，豎直向上方向為y軸正方向，則有方程組：

Fx=Tsinθ-Ncosθ=man①

Fy=Tcosθ+Nsinθ-mg=0②

解此方程組同樣如例1解一：

①×sinθ+②×cosθ

得：T=mgcosθ+mansinθ③

①×cosθ-②×sinθ

得：N=mgsinθ-mancosθ④

分析與解二：如果選沿接觸面和垂直于接觸面兩個方向為x、y坐標軸，如圖9所示，將加速度an沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向分解，分別在該兩方向應用牛頓第二定律，則有方程組：

Fx=T-mgcosθ=max=mansinθ⑤

Fy=mgsinθ-N=may=mancosθ⑥

其中an==⑦

由⑤式移項得③式，由⑥式移項得④式

由③④⑦三式可看出，當v增大時，向心加速度an增大，球受支持力N減小，繩拉力T增大。當N=0時，a臨=gtanθ=g，由⑦式即v臨=，此時小球雖與斜面有接觸但無壓力，處于臨界狀態。

本題因v=

由④式得N=mg

經過上述分析和比較可知，應用正交分解法處理牛頓運動定律的應用問題時，選擇坐標軸應優先選沿接觸面和垂直于接觸面的兩個方向為x、y坐標軸方向，這樣可分解的力更少，代數方程的式子更為簡潔，代數運算更為簡便，更能提高學生的解題能力和速度。

（作者單位：江蘇省靖江市斜橋中學）