由“得意忘形”,例談教與學中的困惑

數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，借助識圖 、解意的“慧眼”，探索分析數學問題和解決問題的方法，如何教學生變學會為會學，提高學生的數學素養和解決數學問題的能力，從而在數學教學中真正實現素質教育，是我們每一個數學教師面臨的一個課題。

一、教之困惑

1.一道題目

在一份練習題中有這樣一題：如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們之間有網線聯，連線標注的數字表示該網線單位時間內可以通過的最大信息量，現從結點A向結點B傳送信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳播，由單位時間內傳遞的最大信息量為（ ）

A.16 B.20 C.24 D.25

2.一次事故

這是一道比較簡單題目，我教的兩個班的學生幾乎沒有人會做，在評講時，一個班我詳細分析了錯誤原因，思考過程和解題方法。一個班的同學比較活躍沒有講完，準備第二天講，由于第二天學校的藝術節活動，這一道就忘記講了。但巧合的是期終考試剛好考到了這道題目，結果發現，講過的一個班，有一半以上的做對了，而沒講的一個班只有兩個人做對了，其中一個是靠運氣做對的。

3.一點疑惑

為什么講過的題目學生未必會做，但沒講的題目學生很可能一定不會做呢？

二、學之困惑

調查發現，好多學生對于有數有形相結合的題目，根本讀不懂，也不知道從何處著手，真是“學而不思則罔，思而不學則殆”，學生一味的被學而不“思”，也沒有時間思考；學生習慣于老師的安排，忙于完成作業任務，面對老師沒講過的題目只有：知形不解題意，知意而不識圖，不解意也不識圖等。下面就涉及問題列舉幾例：

1.知形不解題意

分析：我們給事故題目的各結點處標上字母如圖，題目明確指出，連線標注的數字表示該網線單位時間內可以通過的最大信息量，這就是說，由AF—→MF—→MB這條線路上的能到達點B的最大流量為3，由 AF—→FH—→HB這條線路上的能到達點B的最大流量為4，由AE—→EG—→GB這條線路上的能到達點B的最大流量為3，由AE—→EC—→CE這條線路上的能到達點B的最大流量為6，故選A。

這道題錯誤的根本原因在于學生沒弄清每條網線上單位時間內可以通過的最大信息量是什么，所謂知形而不解題意。

2.解意而不識圖

如圖，直線L經過⊙O，且與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC=30°，點P是直線L上的一個動點（不與圓心重合），直線CP與⊙O相交于點Q，問是否存在點P，使得QP=QO；若存在，滿足條件的點有幾個？并求出相應的∠OCP的大小，并簡單說明理由。

分析：此題的關鍵在“點P是直線L上的一個動點（不與圓心重合）”也就是說點P在L上的位置有三種，即P在線段AB上；P在B點的左側；P在A點的右側。

如圖（1）當P在線段AB上時，設∠OCP=x，因為QP=QO；所以∠QOP=∠QPO=x+30°，又因為OQ=OC，所以∠OCP=∠Q即x=180°-2(x+30°)

所以x=40°

如圖（2）當P在線段BA延長線上時，連結OQ，因為QP=QO；所以∠QOP=∠QPO=x，∠QCO=x+30°，又因為OQ=OC，所以∠QCO=∠Q

即x+30°=180°-2x

所以x=50°

所以

∠QCO=x+30°=80°

所以∠OCP=100°

如圖（3）當P在線段AB延長線上時，設∠OCP=x，因為OQ=OC；所以∠OQC=∠OCP=x，又因為OQ=PQ，所以∠QPO=∠QOP=x

x+x=30°，所以x=20°

即∠OCP=20°

這道題大部分同學只做出一種情況，忽略了點P在直線L上，并且有的同學知道有三種情況，但畫不出相關圖形。

3.既不解意也不識圖

生活中有人喜歡把信紙或請人傳送的便條拆成圖丁形狀，折疊過程如圖所示（陰影部分表示紙條的反面）

（1）如果信紙折成的長方形紙條寬為4cm，為保證能折成圖丁形狀（即紙條兩端均剛好到達點P），紙條至少長多少cm？紙條長最小時，長方形紙條的面積是多少？

（2）假設折成的圖丁形狀紙條寬為xcm，并且一端超出p點2cm，另一端超出p點3cm，

①請用x的代數式表示信紙折成的長方形紙條的長；

②請用x的代數式表示信紙折成圖丁所示的平面的面積S；

分析：這是一道實際生活中動手操作題，只要根據示意圖親手折疊一次，然后根據折疊過程和折痕就不難解決了，如下圖是剛好到P點時的展開圖：

我們不難發現，BC=CD=2AB=5AE

三、教與學的困惑原因

1.定義+定理(性質、公式)+例題

教學模式較單一，講授知識點多，講述數學知識的來源少，講授知識本身多，缺乏直觀性和應用性的教學。教學內容、教材枯燥無味，缺乏引人入勝的材料。受到數學教師的自身水平限制，缺乏對數學文化的真正理解，難以使學生產生對數學學習的興趣，

2.“得意忘形”現象

過度強調數學知識的嚴密性和數學理論的抽象思維特性，使數學過度抽象化、神秘化，淡化了數學的通俗性和實用性。

缺乏或不太重視直觀性特別是幾何直觀性教學，使學生知其然而不知其所以然，較大程度上陷入“得意忘形”的境界。“得”了數學知識的字面定義、性質、定理，“忘”了數學知識的原始來源動機和直觀。

3.“數學學習缺乏自主”現象

由于教學方法和思想的不當，教師只知道講，每節自修課都有老師管，學生缺乏自主學習的積極性、主動性，自主思考、開動腦筋的機會少。

（作者單位：浙江省寧波市四眼起中學）