初談反例在初中數學教學中的作用

【摘 要】數學家蓋爾鮑姆說過：“一個數學問題如果用一個反例予以解決，給人的刺激猶如一出好戲劇。”在教學中利用反例可以有效地激發學生的求知欲，通過反例能使學生加深對基礎知識的理解。反例不但是糾正錯誤的常用方法，而且是發現問題的重要途徑，通過反例的構造可以培養學生的發散性思維和創造思維。綜合運用反例，不僅可以達到以反輔正、殊途同歸的目的，而且能很好地培養和訓練學生的反向思維能力。

【關鍵詞】反例；構造；思維邏輯；推導

在數學發展史中，有很多著名的命題從正面百思不得其解，而舉反例使問題得到了解決，反例與證明具有同等重要的地位。當我們要證明某一命題成立時，必須經過嚴密的邏輯推導，而否定這個命題，通過列舉出與這個命題結論相矛盾的例子，即舉反例就可以了。舉反例往往會收到事半功倍的效果。

一、數學反例及其應用

所謂數學中的反例，是指符合某個命題條件，而又不符合該命題結論的例子。簡單的說，反例是一種指出某命題不成立的例子。數學講究邏輯，證明要言必有據。但是世上所謂“證明”，其目的是為了說服別人相信某個真理，而說服人的方法有許多種，其中就有舉反例。若舉不出反例，則該事不能不真，相反，若舉出了反例，則該事必為假。

例：在一個三角形中，內切圓的半徑為r，外切圓的半徑為R，最長的高為H，則r +R≤H。

分析：要證明此問題，從正面不容易下手，但是我們可以畫出圖像加以分析然后構造反例。舉特殊化的例子：若這個三角形為等邊三角形，則r=H／3，R=2H／3，于是上述結論正確。

二、反例在數學教學中的功能

1.反例是使學生加深理解概念的重要工具

數學概念是中學數學教學的重要內容，是思維的細胞。學好數學概念是學好中學數學知識，提高數學思維能力的基礎。所以，加強數學概念的學習是中學數學教學的重要任務。事實上，現實中的中學教學的概念教學不盡人意。學生往往對數學概念缺少深刻的理解。就數學教學而言，素質教育提倡的是為理解而教。教學上需要用不同的策略處理，用不同的理論指導。就數學學習的內容而言，常規訓練是否對概念形成有作用，是否有利于理解領會，還需要從內容方面剖析概念形成的過程，要構造自己理解的概念，從而達到學習目的。

在初二學習函數定義時：在某一變化過程中，存在兩個變量x，y。當變量x在某一允許變化范圍內任取一個值。通過某種對應法則，使得都有唯一的y值與之對應，則稱y是x 的函數，記作y=f(x)。其中x叫做自變量，y叫因變量。

表面上，同學們都認為這個定義不需要解釋也能明白、理解。仔細分析下來，很多學生對上述定義中“任取”和“唯一”這兩個詞語理解不透。于是教師就在此處引用幾個反例來說明所謂“任取”和“唯一”所指的具體含義。

2.反例是否定命題的重要方法

由于反例在否定一個命題時具有特殊的重要意義。因此在教學中充分利用反例的這一特點適當地運用反例，可以收到事半功倍的效果。

例如：要說明“兩個無理數的積仍是無理數”的結論成立，只要舉出一個相反的例子駁斥它就可以了。如:因為2×=6，而6不是無理數，故這個結論不成立。

3.反例是數學思維能力培養的重要手段

利用反例，可使學生克服思維定勢，有利于培養思維的靈活性。在教學過程中，學生在教師習慣性程序的影響下容易形成固定的思維模式，即定勢。思維定勢對解決相同類型的問題有積極的作用，而對解決變形的問題則會起到消極作用。思維定勢是客觀的存在，學生的認識過程是在現有的定勢上發生的。舉反例就是一種解決問題有效的數學思維方法。利用反例，克服思維定勢，抑制產生負遷移，有助于培養思維的靈活性。

例：一元二次方程ax2+bx+c=0有實根的充要條件是△≥0。

分析：在實數范圍內這是對的，但在復數范圍內這是錯誤的。由此，可舉反例：

①ix2+i=0?圯x=+i或-i，其判別式△=02-4i2＞0。

②ix2-i=0?圯x=±1，其判別式△＜02+4i2<0。

所以對復系數一元二次方程，△≥0既不是方程有實根的充分條件，也不是方程有實根的必要條件。由此可見，囿于定勢會產生墨守成規、機械記憶等負面效應，此時舉反例恰恰是解決這一弊端的有力方法。

三、歷史上偉大的反例構造

在數學的發展史中，數學家一直猜想：“連續函數在其定義區間中，不可導點是有限的。”許多年來數學家們一直認為這是個正確的結論，但是一直未能給出相應的證明！直到后來我們偉大的數學家Weierstrass在1872年構造出了一個處處連續又處處不可導的函數，為上述猜想做了一個否定的終結：

f(x)=ancos(bnx) 01

反例的構造是一種非常重要的數學技能，由于數學本身的抽象性，使得反例的構造不是一件輕而易舉的事情，所以我們在教學過程中應重在展示反例構造的思維過程，經常進行訓練！當然這不是一件簡單容易的事情，需要長期不斷地努力和探索！

四、結束語

本文闡述了數學中反例及其應用，同時也收集了一些與教材相關的重要反例，它使我們體會到用反例來解決一些數學問題帶給人的愉悅感，也讓我們意識到反例在教學中具有不可忽視的作用。適當的應用反例可提高教學質量，同時也能促進學生思維能力的發展。

【參考文獻】

[1]方初寶：數學分析選講[M]，南寧：廣西人民出版社，1986-86-152

[2]席振偉：數學思維方式[M]，南京，江蘇教育出版社，1995

[3]羅增儒：數學解題學引證[M]，西安，陜西師范大學出版社，1997

[4]沈山劍：教育實踐研究2002（1）-46-47

（作者單位：四川省廣安市五福初級中學）