數學審美能力的培養

數學的審美教育可通過多種方法和途徑來實現。其途徑之一就是學習美學的基本常識，懂得一定的藝術規律。馬克思說：“你想得到藝術的享受，你本身必須是一個有藝術修養的人。”懂得基本的美學知識，掌握數學美的特點，你才能感受美，欣賞美，從而進一步理解美的真正涵義。

審美教育的過程常伴隨著主體強烈的情感活動，它能引起人們感情的激蕩，造成感情上的共鳴。在數學審美教育中，這就要求有生動性、形象性、感染性。教育者對事業、對學生、對數學要充滿真摯熱烈的情感。教師對事業、對學生充滿熱愛之情就會使學生感到親切，教師對數學擁有強烈的興趣愛好之情就會使學生對所學的內容傾注自己的感情，產生對數學的愛。

培養數學的審美能力最重要的途徑就是投身于數學的創造實踐之中。創造是智慧的花朵，它需要勇氣和毅力，它需要強烈的對美的追求和濃厚的數學審美意識。數學創造過程需要審美功能的全面發揮，就如從游泳池中學習游泳，從數學的創造實踐中培養數學的審美能力是最有力的方法。下面舉個例子具體予以剖析。

例：點M與橢圓+=1的左焦點和右焦點的距離之比為2：3，求點M的軌跡方程并畫出圖形。

解：設M點的坐標為（x，y），按題意得：=，化解整理得(x+13)2+y2=122。其圖形如圖1所示：

作完圖1以后，可以發現如下兩個結果：

（1）點M到兩焦點的距離之比恰好為橢圓的長半軸和半焦距之差與短半軸之比。詳言之，設橢圓長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，有==。

（2）圖1中的圓的圓心恰為長軸的左端點(-a，0)，其半徑恰為橢圓的短半軸b，從圖1的圖形上看，若在橢圓右端再加上一個對稱的圓，從而形成圖2，這個圖案好似望眼鏡，美極了。要形成如圖2所示的圖案，這時，需改成如下的題目：

點M與橢圓+=1兩焦點距離之比為2:3，求M的軌跡并畫出圖形。

由于圖2的優美，促使我們把這個特殊的圖形推廣到一般的橢圓，對于一般的橢圓是否也能得到這種優美的圖案呢?這就需要解決下面的問題：

設橢圓+=1(a>b>0)的半焦距為c，動點M(x，y)到兩焦點的距離之比為，求點M的軌跡方程。

解：依題意，得

=（1）或者=（2）

由（1）整理得：2(c2-ac)x2+2(c2-ac)y2-2c×2(a2-ac)x+2c2(c2-ac)=0，因為c2-ac≠0，在上式中約去c2-ac，并經整理得：(x+a)2+y2=b2。同理由（2）得：(x-a)2+y2=b2，綜上所述，我們得出如下一般結論：

定理1：到橢圓+=1兩焦點的距離的比等于(b>a>c，c為半焦距)的動點M的軌跡是以橢圓的長半軸的端點為圓心，短半軸長為半徑的兩個對稱圓：(x±a)2+y2=b2。

雙曲線與橢圓都是圓錐曲線，且都有兩條軸和兩個焦點，那么，雙曲線是否也應該有這樣美好的結論呢？下面我們就來試探。對于雙曲線，由于c>a ，為負值，如果將負變為正，也就是相應的比值取，則有下面的推論：

設雙曲線-=1(a，b>0)的半焦距為c，動點M(x，y)到兩焦點的距離之比為，則：=（3）或=（4） ，設雙曲線的離心率為e=，則對（3）、（4）式進行化簡、變形、整理得：(x±ec)2+y2=(eb)2，其軌跡也是兩個對稱圓，即有如下結果：

定理2：到雙曲線-=1兩焦點的距離的比等于(a，b>0，c為半焦距，e為離心率)的動點的軌跡是兩個對稱圓：

(x±ec)2+y2=(eb)2

由于雙曲線的實軸在兩焦點之間，故到兩焦點的距離之比為任何正實數的動點M的軌跡都不會是以實軸端點為圓心的圓。為此我們將焦點和實軸的端點位置對換一下，這就是設=，或=，變形、化簡、整理得：(x±c)2+y2=b2。于是我們得到如下定理：

定理3：到雙曲線-=1的實軸兩端點的距離的比等于(a，b，c>0，c2=a2+b2)的動點M的軌跡，是以雙曲線的焦點為圓心，虛半軸長為半徑的兩個對稱圓：(x±c)2+y2=b2。

對于橢圓，類似于上面問題的提法，我們可以得到類似如定理3所得的對稱圓。也就是有如下定理。

定理4：到橢圓+=1的長軸兩端點的距離的比等于(a>b>0，c為半焦距，e為離心率)的動點M的軌跡為兩個對稱圓：(x±)2+y2=()2。

正是從對數學對稱美和統一美的追求，才發現了上述四個定理的。通過這樣一個發現過程我們可以飽嘗到數學創造的甘甜。數學美驅使數學家去試驗、觀察，從而提出猜想，然后再去證明。數學中許多定理、規律都是這樣得來的。通過數學教學的再發現過程，可以有效地培養學生的數學審美能力。

（作者單位：重慶市北碚區王樸中學）