解析幾何中有關圓問題的求解策略

直線與圓錐曲線的位置關系是各省高考的重點考查內容，它要求學生有清晰的解題思路和過硬的運算能力及靈活的運算方法。圓錐曲線中許多題目與圓有關，若選擇好恰當的方法，就能簡化運算。

下面舉例說明，如何求解此問題。

策略1：利用直角三角形，斜邊的中線等于斜邊的一半。

例1：曲線C是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的右支，已知它的右準線方程為l：x=，一條漸近線方程是y=x，線段PQ是過曲線C右焦點F的一條弦，R是弦PQ的中點。

（1）求曲線C的方程；

（2）當點P在曲線C上運動時，求點R到y軸距離的最小值；

（3）若在直線l的左側能作出直線m:x=a，使點R在直線m上的射影S滿足·=0。當點P在曲線C上運動時，求a的取值范圍。

解：（1）雙曲線方程x2-=1 （x>0）。

（2）點R到y軸距離的最小值為2。

（3）S滿足·=0，則S是以R為圓心，|RP|為半徑的圓上一點。|RP|=|PS|=xR-a而|PQ|=|PF|+|QF|，由雙曲線第二定義：==2

∴|PQ|=2(x1+x2-1)=4xR-2

得2xR-1=xR-a，即xR=1-a

由第2問可知|xR|≥2 ∴a≤-1

評注：本題中利用|RS|=2|PQ|，把它轉化為弦長問題，而弦所在直線又過焦點，又可用第二定義，從而使問題簡化為利用第2問題結果而若設S和直線PQ的斜率，利用·=0的思路，計算將非常繁瑣。

策略2：與圓有關圓錐曲線題中，經常會出現點在圓內或圓上及圓外等情況，這時可利用數量積小或等于及大于零進行求解，將能簡化運算。

例2：（2010，浙江高考）已知m>1，直線l:x-my-=0，橢圓C:+y2=1，F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點。

（1）當直線C過右焦點F2時，求直線l的方程；

（2）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G、H，若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍。

分析：·= ||·||cosθ=x1·x2+y1·y2，若點O在圓內，則OG與OH所成角必大于90°，則·<0，等價于x1·x2+y1·y2<0即可：

解：（1）所求直線l：x-y-1=0

（2）設A(x1，y1)B(x2，y2)，點O在以GH為直徑的圓內，則·<0，而= = 即·<0

x=my++y2=1 2y2+my+-1=0

則△>0知m2<8且有y1+y2=-， y1·y2=-

·=(my1+)(my2+)+y1·y2=(m2+1)(-)=0

∴-<0 即m2<4

得上m>1m2<8m2<4 ∴m∈(1，2)為所求；

評注：本題中若利用2|MO|<|GH|再求兩點間的距離，計算將非常繁瑣，而直接抓住·<0，則簡化了計算，將解題思路變得一目了然。

策略3：若求兩個點在某一圓上時，可利圓心距所在直線與弦所在直線垂直求解：即·=0

例3：已知雙曲線-=1的離心率e=，過點A（0，-b）和B(a，0)的直線與原點的距離為。

（1）求雙曲線的方程；

（2）直線y=kx+m(k≠0，m≠0)與雙曲線交于不同的兩點C、D，且C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，求m的取值范圍。

解：（1）雙曲線方程-y2=1；

（2）設C(x1，y1)、D(x2，y2) 3CD的中點為

P(x0，y0)，利用·=0或kAP·kCD=-1

-y2=1y=kx+m 消去y；(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0

所以△=12m2+12-36k2>0 ……………………………（1）

x1+x2= y1+y2=

則P(，)

kAP·kCD=-1 得3k2=4m+1……………………………（2）

把（2）代入（1）中 得m2-4m>0

而3k2=4m+1>0 ∴m的范圍：(-，0)∪(4，+∞)；

小結：解析幾何中有關圓的解題策略，其核心要抓住圓的幾何性質。另外，我們還要借助向量的工具性來簡化計算，使解題變得輕松從而提升學生的自信心。

（作者單位：江西省贛縣中學南校區）