無窮小量的階數及其應用

摘 要:我們可以用提取公因式法、導數法、馬克勞林法確定無窮小量的階數，還可用無窮小量的主要部分計算復雜未定式。

關鍵詞:無窮小量階數 無窮小量的主要部分 復雜未定式的計算

中圖分類號:O172.1文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2012)04(a)-0218-02

Infinitesimal order and its application

Duan Wen Xi

(Beijing Normal University Zhu Hai Campus)

Abstract:We can use the method of extracting common factor， derivative method，Mark McLaughlin method to determine the order of infinitesimal，We can also make use of infinitesimal main part to calculation complexity of the indeterminate form.

Key word:Order of the Infinitesimal Main part of the Infinitesimal calculation complexity of the

1 無窮小量階的概念及其運算

定義1如果，就稱是時關于的階無窮小量。

對于無窮小量的運算，我們有以下結論

(1)如果與都是時關于的階無窮小量，則是關于的階無窮小量，其中;

(2)如果，，則是階無窮小，其中;

(3)如果，則也是關于的階無窮小量;

(4)如果，則;

(5)如果，，則

;

(6)時，如果，，則

是關于的階無窮小。

例1時，是的高階無窮小，.是的高階無窮小量，則

是的高階無窮小，也是的高階無窮小量。

2 無窮小量階數的判斷

方法一、(提取公因數判斷法)

如果是有限項無窮小量的代數和，且

，則當時，是時關于的階無窮小量。

例1 問當時，無窮小量

是關于的幾階無窮小量？

解，

，所以，時

是關于的階無窮小量。

方法二(導數判斷法)

如果在點的鄰域內有連續的階導數，且()但，則當時，是關于的階無窮小量。

證明 由羅必大法則

所以，當時，是關于的階無窮小量。

例2 確定當時是關于的幾階無窮小．

解記，則;

，;，;

，，所以是關于的階無窮小量。

方法三、(馬克勞林公式法)

如果是有限個同階無窮小量的代數和，則將的每個無窮小量用馬克勞林公式展開，展到合并同類項后首次出現系數不為零的項為止，按這種要求，如果其中某一項需要展到項，則在這項的后面，要加上這項的高階無窮小．這種方法還經常要利用、、、、的皮亞諾形式的馬克勞林公式。

例3

，

所以是關于的階無窮小量。

如果用馬克勞林展開并合并同類項后仍然含有同階無窮小量的和差，那么，每個無窮小量應多展一項。

例4 判斷是關于的幾階無窮小？

錯誤的做法

。

因為最后的計算結果含有兩個同階無窮小量的差，所以，還是無法判斷原無窮小量的階數。

正確做法如下:

。

所以是關于的二階無窮小量。

3 無窮小量階數的應用

如果未定式的分子和分母是有限個無窮小量的代數和，則用羅必大法則計算這類極限時，求導數的過程必定很復雜，以下介紹應用無窮小量階數計算這類復雜未定式的方法。

定義2 在某一變化過程中，是個不同階數的無窮小量，如果是其余各無窮小量的低階無窮小量，則稱為無窮小量的主要部分，簡稱為的主部。

例5 當時，的主要部分是．

例6 當時，因是關于的三階無窮小量，所以

的主要部分是。

如果一個分式的分之與分母分別是有限個無窮小量的代數和，則該分式的極限等于分子與分母主要部分比值的極限。

例7。

解 因時，，，所以，

，

例8

解，因是關于的一階無窮小量，所以，

．

例5

．

參考文獻

[1]同濟大學數學教研室．高等數學:上冊．5版．2011:56—59．北京:高等教育出版社．

[2]段文喜編著．考研數學:上冊．2011:12—19．廣東:暨南大學出版社.