無窮小量的階數(shù)及其應(yīng)用

摘 要:我們可以用提取公因式法、導(dǎo)數(shù)法、馬克勞林法確定無窮小量的階數(shù)，還可用無窮小量的主要部分計(jì)算復(fù)雜未定式。

關(guān)鍵詞:無窮小量階數(shù) 無窮小量的主要部分 復(fù)雜未定式的計(jì)算

中圖分類號:O172.1文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2012)04(a)-0218-02

Infinitesimal order and its application

Duan Wen Xi

(Beijing Normal University Zhu Hai Campus)

Abstract:We can use the method of extracting common factor， derivative method，Mark McLaughlin method to determine the order of infinitesimal，We can also make use of infinitesimal main part to calculation complexity of the indeterminate form.

Key word:Order of the Infinitesimal Main part of the Infinitesimal calculation complexity of the

1 無窮小量階的概念及其運(yùn)算

定義1如果，就稱是時(shí)關(guān)于的階無窮小量。

對于無窮小量的運(yùn)算，我們有以下結(jié)論

(1)如果與都是時(shí)關(guān)于的階無窮小量，則是關(guān)于的階無窮小量，其中;

(2)如果，，則是階無窮小，其中;

(3)如果，則也是關(guān)于的階無窮小量;

(4)如果，則;

(5)如果，，則

;

(6)時(shí)，如果，，則

是關(guān)于的階無窮小。

例1時(shí)，是的高階無窮小，.是的高階無窮小量，則

是的高階無窮小，也是的高階無窮小量。

2 無窮小量階數(shù)的判斷

方法一、(提取公因數(shù)判斷法)

如果是有限項(xiàng)無窮小量的代數(shù)和，且

，則當(dāng)時(shí)，是時(shí)關(guān)于的階無窮小量。

例1 問當(dāng)時(shí)，無窮小量

是關(guān)于的幾階無窮小量？

解，

，所以，時(shí)

是關(guān)于的階無窮小量。

方法二(導(dǎo)數(shù)判斷法)

如果在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，且()但，則當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的階無窮小量。

證明 由羅必大法則

所以，當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的階無窮小量。

例2 確定當(dāng)時(shí)是關(guān)于的幾階無窮小．

解記，則;

，;，;

，，所以是關(guān)于的階無窮小量。

方法三、(馬克勞林公式法)

如果是有限個(gè)同階無窮小量的代數(shù)和，則將的每個(gè)無窮小量用馬克勞林公式展開，展到合并同類項(xiàng)后首次出現(xiàn)系數(shù)不為零的項(xiàng)為止，按這種要求，如果其中某一項(xiàng)需要展到項(xiàng)，則在這項(xiàng)的后面，要加上這項(xiàng)的高階無窮小．這種方法還經(jīng)常要利用、、、、的皮亞諾形式的馬克勞林公式。……