利用“三種不等式”處理不等式問題

這里的“三種不等式”即均值不等式（或基本不等式）、柯西不等式、排序不等式.首先，我們一起來回顧三種不等式.

（1）均值不等式：若a1，a2，a3…an是n個正數，則有：

a1+a2+a3…+an≥n（當a1=a2=a3=…=an時取等號）

（2）柯西不等式：設a1，a2，a3…an∈R，b1，b2，b3…bn∈R，則有：

（a12+a22+a32…+an2）（b12+b22+b32…+bn2）≥（a1b1+a2b2+a3b3…+anbn）2

（當且僅當a1∶b1=a2∶b2=a3∶b3=…an∶bn時取等號）

（3）排序不等式：

設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組數，c1，c2，…cn是b1，b2，…bn的任意一個排列，則：

a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1≤a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn≤a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn

（當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時，等號成立）

因為這三種不等式從形式、等號成立條件等來看具有一致性和相容性，在很多時候可以利用這些一致性和相容性對不等式問題進行多種解法，尤其是在不等式的證明和求函數最值時最常見.下面就從這兩方面舉例說明.