分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

摘 要：數(shù)學(xué)分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。由于“分類討論”思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性，提高學(xué)生全面、周密地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的素質(zhì)和能力起到十分關(guān)鍵的作用，故“分類討論”思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位。

關(guān)鍵詞：分類思想；原則；方法

分類思想不像一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過(guò)幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內(nèi)涵。一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是否要分類及如何分類，這種經(jīng)驗(yàn)的積累是十分重要的。一般情況下，當(dāng)被研究的問(wèn)題包含有多種可能的情況，導(dǎo)致我們不能將它們一概而論時(shí)，就迫使我們要對(duì)可能出現(xiàn)的所有情況來(lái)分類討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，而后進(jìn)行綜合。分類討論一般應(yīng)遵循以下的原則：（1）對(duì)問(wèn)題中的某些條件進(jìn)行分類，要遵循同一標(biāo)準(zhǔn)；（2）分類要完整，不重復(fù)，不遺漏；（3）有時(shí)分類并不是一次完成，還需進(jìn)行逐級(jí)分類，對(duì)于不同級(jí)的分類，其分類標(biāo)準(zhǔn)不一定統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)思想方法是在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和應(yīng)用的過(guò)程中形成和發(fā)展的，因此，我們要有機(jī)地利用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行滲透，不斷加以歸納、提煉、強(qiáng)化。這就要求教師認(rèn)真鉆研教材，從整體出發(fā)，有計(jì)劃、有目的地結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的教學(xué)。比如學(xué)習(xí)分類思想，要明確分類思想方法具體分散在哪些章節(jié)的哪些知識(shí)的教學(xué)中，不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生建立分類討論的思想，揭示分類討論思想的本質(zhì)，使學(xué)生能夠自覺(jué)合理地運(yùn)用分類討論思想解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成能力。

一、把握契機(jī)，培養(yǎng)分類思想

初中課本中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學(xué)過(guò)程中要有意識(shí)地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸體會(huì)分類討論的思想。七年級(jí)數(shù)學(xué)課本在引入負(fù)數(shù)后即對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類：將有理數(shù)分為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)或?qū)⒂欣頂?shù)分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生辨別不同分類的依據(jù)，初步體會(huì)分類要不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)不同則分類不同的基本原則。此時(shí)可提出問(wèn)題“-a一定是負(fù)數(shù)嗎？”啟發(fā)學(xué)生分a>0，a=0，a<0三種情況考慮。

在日常教學(xué)中，這種有序的、有目的滲透，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步領(lǐng)悟出和接受解決問(wèn)題中分類討論的思想，明確分類討論的思想是解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要、有用的思想方法。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對(duì)象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對(duì)每一子類的問(wèn)題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

1.根據(jù)定義進(jìn)行分類

有些數(shù)學(xué)概念是分類定義的，解答此類題，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類。

例1.a=3，b=2，且a>b，則a+b=（ ）

A.5或-1 B.-5或1

C.5或1 D.-5或-1

此題是按絕對(duì)值的意義進(jìn)行分類的。

2.根據(jù)字母的不同取值進(jìn)行分類

對(duì)于具體問(wèn)題如函數(shù)、方程、不等式的解、代數(shù)式的值等，它們隨著題中所給字母的不同取值而變化，這時(shí)要對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。

例2.一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是-3≤x≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5≤y≤-2，則這個(gè)函數(shù)的解析式 。

分析：本題要考慮k的取值情況，要分為k>0和k<0兩種情況。

解：當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)（-3，-5）（6，-2），解得y=x-4；當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)（-3，-2）（6，-5），解得y=-x-3

3.根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類

例3.已知在△ABC中，∠A=80°，當(dāng)∠B= 度時(shí)，△ABC是等腰三角形？

分析：本題沒(méi)有明確哪個(gè)角是頂角，故要分∠A、∠B、∠C分別為頂角三種情況討論。

例4.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長(zhǎng)為a，則其腰上的高是 。

分析：本題根據(jù)圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD。

4.根據(jù)條件的不確定性分類

有些題目中的條件開(kāi)放，以致求解結(jié)果不唯一，若對(duì)這類問(wèn)題考慮不全面，時(shí)常會(huì)發(fā)生漏解情況。

例5.二次函數(shù)y=a（x-1）2+m的圖像過(guò)哪幾個(gè)象限？

這道題勢(shì)必要考慮圖像的開(kāi)口方向，又要考慮對(duì)稱軸和頂點(diǎn)的位置。要對(duì)字母a和m分類，怎么分，則應(yīng)由學(xué)生討論，互相補(bǔ)充，互相評(píng)價(jià)，逐步完善。

此題是初中數(shù)學(xué)的常見(jiàn)習(xí)題，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考此類問(wèn)題，一方面滲透分類思想，一方面通過(guò)具體的實(shí)例使學(xué)生體會(huì)分類的實(shí)質(zhì)為：化繁為簡(jiǎn)，將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分為幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，分而解之；其次，有時(shí)分類并不是一次就可完成，需逐級(jí)分類。

三、應(yīng)用分類討論，提高解題能力

在解題教學(xué)中，通過(guò)分類討論還有利于幫助學(xué)生概括、總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性、縝密性。一般來(lái)講，利用分類討論思想和方法解決的問(wèn)題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問(wèn)題；其二是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問(wèn)題。

以上僅僅是我們?cè)诮虒W(xué)中碰到的一些相對(duì)簡(jiǎn)單的運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題的實(shí)例。應(yīng)用分類討論思想，往往會(huì)使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，解題思路變得清晰，解題步驟簡(jiǎn)潔明了。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用分類討論的思想研究和解決問(wèn)題，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題思路和掌握技能技巧，做到舉一反三，觸類旁通；有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（作者單位 江蘇省常州市北郊初級(jí)中學(xué)）