用物理方法證明橢圓的面積公式

摘 要：介紹如何運用行星繞太陽運動的規律證明橢圓的面積公式。

關鍵詞：開普勒定律；橢圓的面積公式；物理方法

在數學中有很多方法可以推導出橢圓的面積計算公式，比如，仿射變換法、二重定積分法，其中二重定積分法已超出高中生的能力。本文給出從物理角度證明橢圓的面積表示式的計算過程，切入點是開普勒第二定律，再將開普勒第二、第三定律與機械能守恒定律結合起來，很自然地得出了正確結果。筆者的教學實踐說明，只要事先給出有關預備知識（引力勢能表示式及其物理意義），再對物理推理思路稍作提示，大部分學生都能完成證明過程。這不僅讓學生擁有了理論探究的成就感，還使學生深深地體會到數學與物理學之間的緊密聯系。

眾所周知，開普勒行星運動三定律是開普勒仔細分析研究大量天文觀測數據后得出的著名物理定律。第一定律即說明行星繞太陽運動的軌跡是橢圓，第二定律給出了行星運行速率與行星太陽距離的關系，第三定律揭示了行星軌道的幾何尺寸與行星公轉周期的關系，三個定律將時空、物質和運動完美地融合在一起。

下圖所示為行星繞太陽運動的橢圓軌道，太陽靜止不動位于該軌道的一個焦點。開普勒第二定律告訴我們，行星與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等。這提示我們，如果能算出行星的公轉周期（繞太陽一圈的時間）以及行星太陽連線在單位時間內掃過的面積，那么橢圓軌道包圍的面積就等于這兩個量的乘積。為方便先給出下文涉及的：①橢圓軌道的幾何參量及其表示符號：焦距c，半長軸a，半短軸b，近日點距離r1，遠日點距離r2，面積S；②有關物理量及其表示符號：萬有引力常量G，太陽質量M，行星質量m，行星繞太陽的公轉周期T，行星經過近日點、遠日點時的速率v1、v2，行星與太陽的連線在單位時間內掃過的面積λ（也叫掠面速度）。具體思路和計算過程如下：

（1）設法找出用橢圓半長軸表示的行星公轉周期公式。據開普勒第三定律可知，各行星軌道的半長軸的立方與行星公轉周期的平方成正比，即a13∶T12=a23∶T22=a33∶T32=…=k，比值k是一個僅與太陽質量有關的常數；若某顆行星的軌道是圓，則公式中相應的a表示該圓軌道的半徑。要得到周期公式就必須求出k值，該值可利用圓軌道方便地求到。設某一行星m0的軌道是半徑為R0的圓，其公轉周期為T0，該行星繞太陽作勻速圓周運動所需向心力由行星太陽間的萬有引力提供，所以有

開普勒第三定律告訴我們，k值對所有行星都相等，所以有：

由上式解得軌道半長軸等于a的行星公轉周期的計算式：

該式顯示行星公轉周期與行星的軌道大小以及太陽質量大小有關。

（作者單位 江西省撫州市第一中學）