淺談中學數學中的“抽屜問題”

摘 要：抽屜原則是由德國數學家狄里克雷最先運用于解決數學問題的，它是組合數學里最基本的原理，又叫鴿籠原理。首先回顧關于抽屜原則的一些基本知識，然后論述抽屜原則在中學數學解題中的應用。

關鍵詞：抽屜原則；存在性；中學數學

在充滿生命力的數學科學中，有一類與“存在性”有關的問題。例如，“8個蘋果放到7個抽屜里，必定有一個抽屜里至少有2個蘋果”；“13個人中至少有兩個人出生在相同月份”；“把[0，1]內的全部有理數放到1000個集合中，一定存在一個集合，它里面有無限多個有理數”。在這一系列“存在性”問題中，“存在”的含義是“至少有一個”，我們稱這類問題為“抽屜問題”。

抽屜問題涉及的運算比較少，依據的理論也不復雜，我們稱這些理論為抽屜原則。抽屜原則是由德國數學家狄里克雷（P.G.T.Dirichlet）最先運用于解決數學問題的。它是組合數學里最基本的原理，又叫鴿籠原理或狄里克雷原理。這一簡單的思維方式在解題過程中卻可以演變出很多奇妙的變化和頗具匠心的運用，并且常常得到一些令人驚異的結果。

一、抽屜原則的表現形式

所謂抽屜原則，通常是指這樣一個顯然成立的命題，即每個集合看作一個抽屜，每個元素看作一個物體，如果有n+1或多于n+1個元素放到n個集合中去，那么至少有一個集合里包含兩個或兩個以上的元素。例如，如果有9個鴿子籠，養鴿人養了10只鴿子，那么當鴿子飛回籠中后，至少有一個籠子中裝有2只鴿子。抽屜原則一般有如下幾種表現形式：

抽屜原則的基本形式：

定理1：把n+1個元素分為n個集合，那么必有一個集合中含有兩個或兩個以上元素。

證明（反證法）：設把n+1個元素分為n個集合：A1，A2，…An，再用a1，a2，…an表示這n個集合里相應的元素個數。需要證明至少存在某個ai大于或等于2。

假設結論不成立。即對每一個ai都有ai<2，則因為ai是整數，應有ai≤1，于是有a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n

定理2：把nm+1個元素分為n個集合，那么至少有一個集合含有m+1個或m+1個以上元素。證明略。

二、抽屜原則在中學數學解題中的應用

抽屜原則常用于解決一些結合整除、幾何和染色等的存在性問題，特別是對一些看起來相當復雜甚至無從下手的問題常能發揮獨特作用，從小學奧數、中學奧數、IMO到Putnam中都可以看到它的身影，在中學數學解題中具有廣泛的應用。

1.中學數學中常見的“抽屜問題”

（1）整除問題

1979年，我國數學家柯召教授撰寫的《初等數論100例》一書中提出了“任意2n-1個整數中，必有n個整數的和是n的倍數（n是任意一個正整數）”的猜想。1982年，單墫教授在《數學進展》雜志上發表了論文，他巧妙地利用華羅庚教授的專著《堆壘素數論》中的兩個性質漂亮地證明了這個猜想。

我們知道利用抽屜原則很容易得到如下的性質：

性質1：任意3個整數中，必有兩個整數的和是2的倍數。

證明：因為每個整數被2除的余數是0，1之一，所以用余數造2個抽屜：0和1。對于每個整數被2除后，余數是0的，放在0抽屜中，余數是1的放在1抽屜中。

由定理1可知：3個整數分放在2只抽屜中，必有1只抽屜中有2個整數，由此證畢。

例1.任意7個整數中，必有4個整數的和是4的倍數。

證明：因為7個整數是任意的，所以用a1，a2，…a7這7個字母代表。

由性質1知：a1，a2，a3中必有2個整數的和是2的倍數，為此，可設a1+a2=2m（m是整數）；同理，a3，a4，a5中必有2個整數的和是2的倍數，可設a3+a4=2n（n是整數）；a5，a6，a7中必有2個整數的和是2的倍數，可設a5+a6=2l（l是整數）；整數m，n，l中必有兩個數的和是2的倍數，可設m+n=2s（s是整數），所以我們有

a1+a2+a3+a4=2m+2n=2（m+n）=2×2s=4s。

所以原命題得證。

與性質1類似的，我們有：

性質2：任意5個整數中，必有3個整數的和是3的倍數。

實際上，上述性質1，2以及例題中蘊含著更一般的定理：“任意2n-1個整數中，必有n個整數的和是n的倍數（n是任意一個正整數）”。

（2）幾何問題

平面幾何中有一些與點的距離、圖形面積的大小關系的問題，涉及“至少”或是“必定存在”。這類問題用常規的幾何方法難以解決，但是運用抽屜原則能解決，并有其獨到之處。

例2.已知在邊長為1的等邊三角形內（包括邊界）有任意五個點。證明：至少有兩個點之間的距離不大于。（1978年廣東省數學競賽題）

分析：5個點的分布是任意的。如果要證明“在邊長為1的等邊三角形內（包括邊界）有5個點，那么這5個點中一定有距離不大于的兩點”，如果將原等邊三角形分為4個全等的邊長為的小等邊三角形，則5個點中必有2點位于同一個小等邊三角形中（包括邊界），其距離便不大于。

證明：連接三角形三邊中點D，E，F，則DE，DF，EF是△ABC的中位線。

又因為等邊三角形邊長為1，則有DE=DF=EF=。

顯然有△AFE，△FBD，△FDE，△EDC是邊長為的全等的小等邊三角形。

把這四個三角形看做是四個抽屜，把△ABC內（包括邊界）的任意五個點看作五個物體。

由定理1可知：必有兩個點在同一個小等邊三角形內。

再根據“三角形內（包括邊界）任意兩點間的距離不大于其最大邊長”可以知道，在同一個小等邊三角形內的兩點之間的距離小于邊長。

所以，邊長為1的等邊三角形內（包括邊界）任意五個點中至少有兩點之間的距離不大于■。

2.應用抽屜原則解題的步驟

熟練地運用抽屜原則解決抽屜問題，就必須明確解題的一般步驟。其常規解題基本步驟如下：

首先，分析題意，洞悉問題本質。這一步要求弄清楚題目中什么是“物體”，什么是“抽屜”。

其次，構造抽屜，選擇最優構造方案。這是最關鍵的一步，合理地構造抽屜必須建立在充分考慮問題自身特點的基礎上，要根據題目中已知的條件和結論，結合相關的數學知識，抓住最基本的數量關系，設計和確定解決問題所需的抽屜及其個數，為使用抽屜原則鋪平道路。

最后，運用抽屜原則，達到解題目的。觀察題設條件，結合第二步，恰當應用各個原則或綜合運用幾個原則，以求問題之解決。

（作者單位 江蘇省豐縣中等專業學校）