數學思想在初中因式分解中的應用

古往今來，數學具有極其重要的作用，而學習、研究數學的人最感興趣的莫過于數學的探索與思維方法了。古今中外許多數學家也正是通過巧妙地運用各種方法，在數學史上寫了一頁又一頁的創造性篇章?？梢哉f，學生、教師、數學愛好者都渴望得到一把打開數學大門的“鑰匙”。而在初中階段因式分解也特別重要，在初中階段的分式、二次根式及一元二次方程等單元的學習中，均要用到因式分解的相關知識進行解題，現從聯想法、設想法、歸納法、輔助元法、特定常數法、換元法等一些數學方法在因式分解過程的運用中做了一系列的歸納，以便幫助學生更好地學習與探索。

一、聯想法

發散性思維是從某些已知的知識，猜想某一些新知識的思維形式，其思維猶如從一點發散開來的樹圖。而聯想是發散性思維的重要形式，是一種由此及彼的創造性思考方法。聯想可能失敗，也可能成功，這就要在聯想的基礎上做進一步研究，聯想要以豐富的數學知識和經驗作為基礎，知識和經驗在大腦中的記憶猶如存儲于圖書館或計算機中的資料，聯想猶如資料的聯用。因此，平時必須注意知識和經驗的積累、整理，這樣才能遇到問題時有較為廣泛的聯想面以增加聯想成功的可能。

實際上，平時做課后練習就是依靠對課堂講授知識的聯想來解決的，也可以說考試是考查學生對所學知識和經驗過的方法、問題的聯想能力，因此聯想對于學習數學并想在數學上有所創造的人來說是非常重要的。也特別要注意聯想可能是全局性的，也可能是非全局性的，有些問題往往是從局部特征、局部形式、局部關系著眼進行聯想，從而開拓思路，找到解決問題的途徑。

二、設想法

設想是一種假設性構想法，它常常含有猜想的成分，但它又與猜想不完全相同。例如，最簡單的設想是設想問題已經解決，這種設想就不是一種具有充實內容的猜想。一般常根據研究對象的特性和研究要求，運用自己的想象力提出設想，然后利用既定設想進行探索，而創造性設想往往能使數學探索取得巨大成功。

對解題模型的設想主要是指對解題結構的模型的設想。一般當有了對解題模型的設想以后，常運用湊合法，通過證實設想來解決問題。對解題模型的設想實質上是一種構造性猜想，因此又稱構造法，在思維上常借助于類比、聯想、歸納等，數學上常用構造結論的辦法來證明數學命題。

三、歸納法

從一些關于個別特殊事物或現象的判斷，推出關于此類事物或現象的普遍性判斷稱為歸納推理或歸納法。這是一種從特殊到一般的推理，有時也稱為一般化，其前提是關于個別特殊事物或現象的判斷，其結論是關于此類事物或現象總體的判斷。歸納法能夠幫助我們去發現事物的規律，提供研究的線索和方向，在數學上常常運用歸納法來探討未知的定理。枚舉歸納法是根據對于某類事物或現象的一些個別特殊對象的考察，發現它們都具有某種性質，從而得出關于這類事物或現象都具有此種性質的一般結論。這種歸納法稱為普通歸納法，它的結論是猜想，不一定真實，所以是一種不完全歸納法，一般不與完全歸納法相混淆時簡稱為歸納法。枚舉歸納法是對于無窮多特殊情況進行一一列舉、尋找規律性東西的一種普通歸納法?？茖W上許多真理的發現都是依賴于歸納法，既是枚舉歸納法，實際上枚舉歸納法是數學上最引人入勝的探索方法之一。如整式的因式分解x-1=x-1，x2-1=（x-1）（x+1），x3-1=（x-1）（x2+x+1），x4-1=（x-1）（x+1）（x2+1），x5-1=（x-1）（x4+x3+x2+x+1），發現右邊各因式中各項系數都是1，于是提出猜想：“二項式必能分解成系數都是1的質因式的連乘積”。經過研究，直到n=102，這個猜想都是成立的，但最后有人找到n=105時，xn-1不再能分解為系數都是1的質因式的乘積，因此上述猜想被推翻。

四、輔助元法

為了尋求問題的解決途徑，給問題的轉化創造必要的條件，常常引進一個或幾個起連接作用的輔助元素；把分散的條件集中起來，或者把隱含的條件顯示出來，或者把條件和結果聯系起來，或者轉繁難為簡易，從而達到轉化問題找出解決途徑的目的。所以輔助元法也是一種轉化的方法。輔助元素一般是通過分析條件和特征，從解決問題的需要角度來確定的。由于輔助元素的不同而有各種形式的輔助元法，一般輔助元素有輔助未知數、輔助變量、輔助線、輔助角、輔助平面、參數、輔助函數等等。輔助未知數，實際意義講一般是常量，當然從數學角度也可作變量，而輔助變量是以一個或多個變量作為輔助元素，其應用范圍要比輔助未知數廣泛。

五、待定常數法

有些數學問題，其結果的形式是已知的或可以預先推定的，即可以事先按照已獲知識寫出問題結果的標準表達式，而有些表達式中含有一個或多個（也可以是無窮多個）參數尚待確定，這些參數稱為待定常數。一旦把待定常數確定出來，問題也就解決了。求待定常數的方法是根據它應滿足的條件列出待定常數之間的關系式，然后解出待定常數。從先確定問題結果的標準表達式來講，這是一種倒推法，而從按已知條件求解決待定常數來說又是一種順推法。因此，待定常數法實質上是倒推法和順推法結合起來的一種方法。

六、換元法

引入一個或幾個新“元”代換問題中原來的“元”，使以新元為基礎的問題比較容易，解決以后將結果倒回去恢復原來的元，即可“蛻”得原問題的結果。這種解決問題的方法稱為換元法。換元法的基本思路是通過變量代換，化繁為簡，化難為易，使問題發生有利的轉化，從而達到解題的目的。換元法中的“元”一般作變量理解，但也可以作廣泛的理解，如“元”可以表示常數、代數式、函數等。

（作者單位 新疆維吾爾自治區克州阿克陶實驗中學）