圓錐曲線部分高考備考要點

　　圓錐曲線部分是高中數學的重要部分，在高考中占有重要的位置.圓錐曲線部分的特點是思維容量大、運算量大，所以作為解答題，一般會出現在第21、22題的位置，屬于中高檔題；作為選擇填空題，通常考查圓錐曲線的幾何性質，屬于中低檔題.
　　那么，如何復習備考圓錐曲線部分呢？我認為應注意以下幾點.
　　一、重視圓錐曲線的基本概念和幾何性質
　　圓錐曲線的定義本身就是解題的重要方法，要注意定義的運用.比如橢圓的定義：平面內到兩定點F、F的距離之和等于常數2a（大于|FF|）的點的軌跡是橢圓.對于它的定義我們要從兩個方面來理解：一是如果有一個點P滿足|PF|+|PF|=2a（大于|FF|），則點P的軌跡是橢圓；二是如果點P是橢圓上的一點，則它到兩焦點的距離等于2a.舉例如下.
　　例1：一動圓與已知圓O：（x+3）+y=1外切，與圓O：（x—3）+y=81內切，試求動圓圓心的軌跡方程.
　　解：兩定圓的圓心和半徑分別為O（—3，0），r=1；
　　O（3，0），r=9.設動圓圓心為M（x，y），半徑為R，
　　則由題設條件可得|MO|=1+R，|MO|=9—R.∴|MO|+|MO|=10.
　　由橢圓的定義知：M在以O、O為焦點的橢圓上，且a=5，c=3.
　　∴b=a—c=25—9=16，故動圓圓心的軌跡方程為+=1.
　　（點評：通過分析兩圓的位置關系，得到|MO|+|MO|=10（大于|OO|），滿足橢圓的定義，所以點M的軌跡是以O、O為焦點的橢圓.）
　　例2：已知△ABC的頂點B、C在橢圓+y=1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是（C）
　　A.2 B.6 C.4 D.12
　　（點評：因為點B、C在橢圓上，A是橢圓的一個焦點，設另一個焦點為D，則|BD|+|BA|=2a=2，|CD|+|CA|=2，所以△ABC的周長是4.）
　　二、注意基本公式與基本方法的熟練應用
　　在圓錐曲線的考查中，直線與圓錐曲線的位置關系是考查的重點，將直線方程與圓錐曲線方程聯立整理得關于x（y）的一元二次方程，以及韋達定理、弦長公式、點差法等是需要掌握的基本方法.現舉例如下.
　　例3：已知雙曲線C：—=1（0<λ<1）的右焦點為B，過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點，試確定λ的范圍，使·=0，其中點O為坐標原點.
　　解：設M（x，y），N（x，y），由已知易求B（1，0），
　　①當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，
　　設M（1，y），N（1，—y），（y>0），由·=0，得y=1，
　　∴M（1，1），N（1，—1）.
　　又M（1，1），N（1，—1）在雙曲線上，
　　∴—=1?λ+λ—1=0?λ=，
　　因為0<λ<1，所以λ=.
　　②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k（x—1）.
　　由
　　—=1
　　y=k（x—1），得[λ—（1—λ）k]x+2（1—λ）kx—（1—λ）（k+λ）=0，
　　由題意知：λ—（1—λ）k≠0，所以x+x=，xx=，
　　于是yy=k（x—1）（x—1）=，
　　因為·=0，且M、N在雙曲線右支上，
　　所以
　　x
　　x
　　+y
　　y=0
　　x
　　+x>0
　　x
　　x>0?
　　k
　　=
　　k
　　>?
　　>
　　λ+λ—1>0?<λ<.
　　由①②，知≤λ<.
　　（點評：直線和圓錐曲線相交時，將兩方程聯立，要注意交點的位置，以及Δ的應用，以確定式中量的取值范圍，再就是直線的斜率問題，要注意題中條件是否應加以討論.）
　　三、注意近年來高考題目中對圓錐曲線問題考查的題型的一些新變化
　　高考對于圓錐曲線的考查主要是從四個方面，即：定點、定值問題，最值極值問題，參數的取值范圍問題，以及開放性問題即是否存在的問題的考查.解決這類問題的關鍵是對題目中條件的轉化.現舉例如下.
　　例4：如圖所示，傾斜角為α的直線經過拋物線y=8x的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點.
　　（1）求拋物線焦點F的坐標及準線l的方程；
　　（2）若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|—
　　|FP|cos2α為定值，并求此定值.
　　解（1）由已知得2p=8，∴=2，∴拋物線的焦點坐標為F（2，0），準線方程為x=—2.
　　（2）設A（x，y），B（x，y），直線AB的斜率為k=tanα，則直線方程為y=k（x—2），
　　將此式代入y=8x，得kx—4（k+2）x+4k=0，
　　故x+x=，
　　記直線m與AB的交點為E（x，y），則
　　x==，y=k（x—2）=，
　　故直線m的方程為y—=—
　　x—，令y=0，得點P的橫坐標x=+4，
　　故|FP|=x—2==，
　　∴|FP|—|FP|cos2α=（1—cos2α）==8，為定值.
　　（點評：該題第二問為定值問題，轉化的思路為表示出點P的橫坐標，然后表示出|FP|，以及二倍角的余弦公式把2α化為α的三角函數.）
　　例5：已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F（—3，0），一條漸近線的方程是x—2y=0.（1）求雙曲線C的方程；（2）若以k（k≠0）為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍.
　　解（1）設雙曲線C的方程為—=1（a>0，b>0）.
　　由題設得
　　a
　　+b=9
　　=，解得
　　a=4
　　b=5.所以雙曲線C的方程為—=1.
　　（2）設直線l的方程為y=kx+m（k≠0）.點M（x，y），N（x，y）的坐標滿足方程組
　　y=kx+m ①
　　—=1 ②將①式代入②式，得—=1，整理得
　　（5—4k）x—8kmx—4m—20=0.
　　此方程有兩個不等實根，于是5—4k≠0，且Δ=（—8km）+4（5—4k）（4m+20）>0，
　　整理得m+5—4k>0.③
　　由根與系數的關系可知線段MN的中點坐標（x，y）滿足x==，y=kx+m=.
　　從而線段MN的垂直平分線的方程為y—=—
　　x—.
　　此直線與x軸、y軸的交點坐標分別為
　　，0，0
　　，.
　　由題設可得
　　·
　　=.整理得m=，k≠0.
　　將上式代入③式得+5—4k>0，整理得（4k—5）（4k—|k|—5）>0，k≠0.
　　解得0<|k|<或|k|>.
　　所以k的取值范圍是（—∞，—）∪（—，0）∪（0，）∪（，+∞）.
　　（該題第二問為求參數的取值范圍問題，題中既不知直線斜率又不知直線過的點，可通過設出直線方程為y=kx+m，利用題中條件找到k與m的關系，再根據題中條件求出k的取值范圍.）
　　例5：已知定點C（—1，0）及橢圓x+3y=5，過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點.（1）若線段AB中點的橫坐標是—，求直線AB的方程；
　　（2）在x軸上是否存在點M，使·為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.
　　解（1）依題意，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k（x+1），
　　將y=k（x+1）代入x+3y=5，消去y整理得（3k+1）x+6kx+3k—5=0.
　　設A（x，y），B（x，y），
　　則Δ
　　=36k—4（
　　3k+1）（
　　3k—5）>0， ①
　　x
　　+x
　　=— ②
　　由線段AB中點的橫坐標是—，得=—=—，解得k=±，適合①.
　　所以直線AB的方程為x—y+1=0，或x+y+1=0.
　　（2）假設在x軸上存在點M（m，0），使·為常數.
　　（ⅰ）當直線AB與x軸不垂直時，由（1）知x+x=—，xx=. ③
　　所以·=（x—m）（x—m）+yy=（x—m）（x—m）+k（x+1）（x+1）
　　=（k+1）xx+（k—m）（x+x）+k+m.將③代入，整理得
　　·=+m=+m=m+2m——.
　　注意到·是與k無關的常數，從而有6m+14=0，m=—，此時·=.
　　（ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，此時點A，B的坐標分別為—1
　　，，—1，
　　—，
　　當m=—時，亦有·=.
　　綜上，在x軸上存在定點M
　　—，0，使·為常數.
　　（點評：題中第二問為開放性問題，即是否存在的問題，該類問題的基本思路是假設存在，然后按存在求解.如果求出的值在題中條件所給的范圍內，則存在；如果無解或求出的結果不在所給范圍內，則不存在.要注意題中條件的應用.）
　　圓錐曲線部分的另一個特點是運算量比較大，需要細心運算，還要有耐心，只要思路正確，再加上細心運算，圓錐曲線部分就不再是難點，而是一個非常重要的得分