幾何畫板處理圖形繞點運動的面積問題

摘 要： 幾何畫板是研究幾何圖形的關系、動態地觀察幾何圖形運動狀態、探索數學信息的有力工具。本文主要談談利用幾何畫板處理圖形繞點運動的面積問題。

關鍵詞： 幾何畫板 中學數學教學 圖形繞點運動的面積問題

八年級學生的練習中有這樣一道閱讀理解題：

操作：（1）如圖1，在線段AB所在的直線上取一點O（O點在線段外），將線段AB繞點O旋轉一周，所得到的圖形是個圓環（如圖2），此圓環的面積就是線段AB所掃過的面積，已知AB=2，OA=1，則線段AB掃過的面積為？搖？搖 ？搖？搖.

（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，若將△ABC繞點A旋轉一周，那么邊BC掃過的圖形為？搖？搖？搖 ？搖，面積為？搖？搖？搖 ？搖.

（3）若將圖3中的Rt△ABC繞點C旋轉一周，則邊AB掃過的圖形是什么？面積為多少？

學生在處理問題（1）時能保證98%的準確率，而問題（2）只有44%的準確率，到問題（3）則只有2%的準確率。

“沒有一種數學思想是按照它被發現時的方式加以發表的。一種技巧發展了、使用了，一個問題得以解決了，就把解決問題的程序顛倒過來……（于是）火熱的發明變成了冰冷的美麗”。教師純理論的推導，學生常常不能理解與wPSFNJwPGHAf+bgeL6ybZU4cO4sERzC2scG+YOq+iBA=再次運用。而利用幾何畫板演示這些問題，能幫助學生理解。例如對這題設計如下的操作。

1.點A繞點O運動的軌跡。

畫線段m，取點O，以O為圓心，m為半徑構造圓O，在圓上取點A，選取點A，編輯操作類按鈕之動畫，根據需要選取方向和運動速度，選中圓，隱藏圓，再選取點A顯示追蹤點。這樣學生就能很好地理解點動成線，也能更好地理解圖形的形成。

2.在線段AB所在的直線經過點O，線段AB繞點O運動的軌跡。

方法一：畫線段m，取點O，以O為圓心，m為半徑構造圓O，在圓上取點A，連接AO，過A作AO的平行線，在平行線上取點B，連接AB，隱藏其他的線，選取點A，編輯操作類按鈕之動畫，根據需要選取方向和運動速度，選中圓，隱藏圓，再選取點AB顯示追蹤線段，該方法體現了線動成面。

方法二：畫線段m，取點O，以O為圓心，m為半徑構造圓O，在圓上取點A，連接AO，過A作AO的平行線，在平行線上取點B，連接AB，在線段AB上選取幾個點，隱藏其他的線，選取點A，編輯操作類按鈕之動畫，根據需要選取方向和運動速度，選中圓，隱藏圓，選中A、B及其他幾個點，顯示追蹤對象。這種方法體現了點動成線，線動成面，這個方法對我們解決線段的兩個端點并不是一個離圓心最遠一個離圓心最近的情況很有幫助。

3.線段AB與點O相切，A是切點，線段AB繞點O運動的軌跡。

畫線段m，取點O，以O為圓心，m為半徑構造圓O，在圓上取點A，連接AO，過A作AO的垂線，在垂線上取點B，連接AB，在線段AB上選取幾個點，隱藏其他的線，選取點A，編輯操作類按鈕之動畫，根據需要選取方向和運動速度，選中圓，隱藏圓，選中A、B及其他幾個點，顯示追蹤對象，到這里學生還是比較容易理解的。

4.線段AB與點O相切，A不是切點，線段AB繞點O運動的軌跡。

畫線段m，取點O，以O為圓心，m為半徑構造圓O，在圓上取點C，連接CO，過C作CO的垂線，在垂線上取點A、B，連接AB，在線段AB上選取幾個點，隱藏其他的線，選取點C，編輯操作類按鈕之動畫，根據需要選取方向和運動速度，選中圓，隱藏圓，選中A、B及其他幾個點，顯示追蹤對象，通過這個幾何畫板的動畫演示，學生就有了一個直觀的理解，圓環的面積并不是π（OB）■-π（OA）■，而是和到圓心O的距離有關，讓學生歸納一下線繞點旋轉后圖形的面積的計算方法。

隨后可以延伸一下，求一個四邊形繞點O旋轉后圖形的面積，并通過演示和學生校對一下答案。

幾何畫板是一種利用畫圖、操作探究、演示圖形變化與圖形關系的工具，使用得當可以讓我們的數學課堂更生動。

參考文獻：

[1]吳江媛.用一個點帶動圖形運動的方法.中學數學月刊，2009.10.

[2]何立特.幾何畫板在探究軌跡問題中的應用.河南教育學院學報（自然科學版），2009.09.