由圓面積計算公式推導談學生發散性思維的訓練

　　發散性思維，是指一種不落俗套，追求變異，從多方面尋找答案的思維過程。它具有流暢、變通、獨創等特征。在教學中注意發散性思維的訓練，不僅可以使學生的解題思路開闊、妙法橫生，克服思維刻板僵化、解題思路狹窄、方法單一的缺陷，而且對于培養學生成為勇于探索新方法的創造性人才具有重要的意義。
　　下面我就圓面積計算公式推導，談談發散性思維的訓練。
　　圓的面積計算公式S=πr2課本上的推導的過程是把圓割補成近似長方形，然后利用長方形與原來圓的關系導出圓面積的計算公式。通過學習，學生基本都能完成學習任務。但數學教學如果僅僅局限在這個層面上，那么學生的潛能就沒有得到充分開發。
　　為了使學生的思維不落俗套，具有發散性，我在教學中又設計了這樣的一個過程，對學生進行訓練：
　　準備題：計算下面兩個圖形的面積，比較后你有什么發現（如圖1）：
　　通過自主探究得到：幾個等高三角形的面積之和=×底之和×高。
　　有了這個公式基礎，再啟發學生：圓能不能不補成近似長方形來推導出它的面積公式？學生通過獨立思考、小組合作等形式，能將圓割成下面的形式（如圖2）。
　　學生能割成這樣，說明思維的路線已正確了，在準備題和第一種推導法經驗的基礎上會很快地得到：S圓=S近似三角形之和=×底之和×高=×2πr×r=πr2。
　　學生在教師的引導下通過自主探究、合作交流，用不同的方法推導出圓面積計算公式，會很有成就感。這是學生學習數學步入良性循環的一個重要前提。為了進一步激發學生的學習興趣，滿足學生的好奇心，訓練學生的發散性思維，教師再進一步發問：能不能再用其他方法推導呢？這時學生的思維立刻會活躍起來，他們會盡全力去尋求新方法，想方設法運用已學過的知識和已掌握的方法去解決這一問題。在學生尋求解答的這一過程中，即使學生得不到新的方法，思維能力也能得到提高，特別是發散性思維。這個過程的價值遠遠超過得到公式本身的價值。
　　為了讓學生知道許多問題都有多種解法，只是自己沒有想到，也為了幫扶學生一把，進一步激發學生從不同的角度去思考問題，教師可提示學生：能不能把圓轉化成三角形呢？在此基礎上，新的一輪思維又開始了。如果學生有新的發現，教師給予推廣，學生有困難，教師可出示圖（如圖3），予以引導：
　　先把一個圓平均分成9份，拼成（如圖3）的形狀：
　　就圖共同討論：拼成的這一個圖形近似于什么圖形？（三角形）這個三角形的高是多少？（3r）底是多少呢？（圓被平均分成9份，圓周也被平均分成9份，底占3份，所以三角形的底近似等于圓周長，即×2πr）那么原來圓的面積怎樣表示呢？（S圓≈S三角形≈××2πr×3r=πr2）
　　因為在割拼的過程中，每一小部分不是真正的三角形，拼的時候，不是密鋪，上下相鄰的小塊之間又有許多空隙，拼成的圖形也不是真正的三角形，所以出現了兩個“≈”，那么怎樣使兩個“≈”都近于“=”呢？最好的辦法就是把圓平均分成的份數增多，分得越多，每一小份和拼成的圖形就越接近三角形，兩個“≈”越接近于“=”。
　　為了讓學生得到訓練，在此安排學生進行一定的自主探究練習：
　　剛才圖3是將圓平分成9份拼成的，你們能將圓分成更多的分數進行推導嗎？你想想看，分成的分數是不是隨意的？為什么？
　?。ㄈ鐚A平分成16份，拼成的近似三角形。S圓≈S三角形≈××2πr×4r=πr2）
　　有興趣的同學課后結合課上的例子研究一下：
　　層數和總塊數有什么關系？（總塊數=層數）最底層占據整個大三角形底邊的小三角形的個數與層數又有什么關系呢？（占據底邊的小塊個數=層數）
　　另外還可以布置學生再去找找看，有沒有其他的推導方法。
　　在上述的整個過程中讓學生多動手、動口、動腦，既要積極探究，又要合作交流，教師既要是引路者，又要是合作者。這一過程看上去較為煩瑣，但它可以起到以一當十的作用，使記住公式成為最底層的要求，訓練學生發散性思維成為凸顯的亮點。
　　總結上述例子，我認為，加強發散性思維的訓練應注意以下幾個方面：
　　1. 打牢基礎，注意知識點之間的聯系
　　流暢、變通是發散性思維的顯著特征。學生思維靈活、思路暢通，就是能在短時間內調動頭腦中與要解決的問題有關的概念、公式、方法和技巧，所需之物要呼之欲出，信手拈來。這就要求學生具有牢固的基礎知識，熟悉各個知識點之間的聯系，頭腦中要有一個清晰的知識網絡體系，能夠通過捕捉有用的信息，進行對比、聯想，實現知識與方法的遷移。
　　2. 教學中不僅教師要從不同角度多提問、設疑，還要鼓勵學生多提問，提倡一題多解
　　課堂上對同一問題從不同的角度多提問，有利于引導學生從不同方面去尋找答案。在學生有了一定的發散思維能力的基礎上，教師要鼓勵學生在學習時對他人、對自己多提問，因為一個好的解題方法往往是從所提的“怪問題”中得到啟發的。怎樣從別的角度去解決問題呢？一題多解練習就是培養學生發散性思維的一種行之有效的方法和重要手段。
　　3. 加強發散思維的練習
　　在學生具有一定的發散性思維能力的基礎上，如果及時地加強練習，對激發學生興趣、提高學生發散思維的品質、增強學生發散思維的能力、養成學生積極思維的習慣等是非常重要的。
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