如何讓新瓶中的“舊酒”散發醇香

　　課改伊始，問題解決教學中對數量關系的教學一時忌諱極深，課堂上避而不談，生怕被扣上“新瓶裝舊酒”的帽子。隨著課程改革的不斷推進，對問題解決教學重新進行理性審視，我們發現數量關系不僅要教，而且需要濃墨重彩地教。這是因為數量關系是解決問題的核心元素，學生只有基于所求“問題”，把握全體“框架”，找到題中蘊含的數量關系，才能打開“解決問題”的正確通道。
　　但在教學中我們發現，由于低年級的問題解決結合數的運算意義的逐步推進，導致“重計算輕問題解決”的現象普遍。再加上教學計算時問題解決相對單一，學生不需經過細致分析就能正確解題，其思維斷層容易被掩蓋和積壓，造成問題解決在低年級順利通過而高年級困難重重的局面。因此，在低年級的問題解決中，教師也要重視數量關系的教學，通過對問題表征的“自我重構”，分析數量間的內在聯系，使學生在解題時既知其然，更知其所以然。
　　一、“運算意義”充分介入，回歸問題本質
　　將已知數量合理匹配進行四則運算是解決問題的重要過程。很多學生感到頭疼的是“兩種數量究竟作何種運算”該怎樣確定？其實，每種運算的本質意義都產生于相對特定的實際背景，也運用于相對特定的問題情境。因此，確定“何種運算”的關鍵在于兩種數量的關系契合了哪種運算的“實際背景”。
　　1.通過直觀，理解運算意義
　　在四則運算的教學伊始，教師要通過各種直觀和實際情境，引導學生理解“加、減、乘、除”運算的內涵，使之建立起該種運算的問題模型，從而在解決問題時實現輕松對接。從一年級開始，教師要引導學生借助直觀感知、體驗活動等，感悟運算中的數量關系，體會運算意義。如在教學加減法時，可以配合手勢、動作、直觀圖等讓學生知道把兩部分合起來用加法計算；從一個數里去掉另一個數用減法計算。那么當學生看到如“男生有25人，女生有18人”這樣的信息時，他們的頭腦中馬上就能出現類似于圖1的“問題表象”，知道把男生人數和女生人數合起來用加法計算。
　　2.深挖現象，關注思維路徑
　　在問題解決的教學中，要深挖現象背后的本質，關注學生算法選擇背后的思維路徑，消除因“跟著感覺走”而造成的假象。如在一年級下冊教學了“求相差關系”的問題解決時，練習中出示如下信息：玩具小熊要8元，遙控車要15元。接著引導學生解決“小磊帶20元錢買玩具小熊，可以找回多少元”“遙控車比玩具小熊貴多少元”等問題。在分析數量關系時，利用直觀圖輔助學生理解：
　　求找回多少元就是從總數里面去掉買小熊的錢，所以用減法算；求貴幾元就是從遙控車里去掉與小熊價錢同樣多的部分，所以也用減法算。通過對比使學生從減法的本質意義上進一步理解這兩種問題解決的內在聯系：從一個量里去掉另一個量，用減法計算，從而實現已知數量與減法意義的內部關聯。
　　其實，無論多么復雜的數學問題，其解決過程都起步于兩種數量間的四則運算。因此，以“運算意義”為起點，引導學生分析數量間的相互關系，確定每個解題步驟，便能讓解決問題回歸數學本質，實現數學建模。
　　二、深入分析“數量關系”，抽象數學知識結構
　　學生在解決問題時，需要完成兩個轉化：其一要從紛亂的問題情境中獲取有用的信息，然后抽象成數學問題；其二要分析數量關系，確定解題步驟和方法。分析數量關系是解決問題過程中一個不可或缺的環節。低年級問題解決的教學若能重視數量關系的逐步感受，使學生能在解決問題的過程中學會用直觀示意圖、線段圖等方法整理相關信息，能借助所畫圖例分析數量關系，就能確定解決問題的正確思路，切實提高解決問題的能力。
　　1.經歷簡化過程，抽象數學語言
　　在低年級問題解決的教學中，教師需樹立“大問題”觀，不能局限于“當下問題”的教學。從接觸問題伊始，就要幫助學生經歷“簡化問題”的思維過程，把具體的、繁雜的現實情境逐步抽象為自己的數學語言，將生活問題轉化為數學問題，實現問題的“自我重構”。如在教學《加法的意義》時，“小明有2朵紅花，小雪有3朵紅花，一共有幾朵紅花？”教師要幫助學生學會說“小明的朵數加上小雪的朵數，就是一共的朵數”。這樣的問題陳述抓住了“加法含義”的本質，即“把兩部分合起來就是總數”。以后出現類似問題時，學生就能很快提取頭腦中的解題經驗，形成經驗與方法的對接。
　　2.培養分析能力，理清解題思路
　　新課程的問題解決注重與其他內容的自然融合，缺少了“類型化”教學，導致有些思維能力弱的學生由于找不到依樣畫“葫蘆”的“瓢”而陷入思維僵局。其實，不管是“應用題”還是“解決問題”，每道題都是由兩種或兩種以上的數量基于情境內容組建而成的。所以，解決問題的核心任務是深入分析各種數量的內在關系，尋求已知數量間的有效匹配，實現未知數量的“水落石出”。
　　在低年級的解決問題中，學生容易基于生活經驗輕松解題，思維過程淺顯稚嫩，造成高分背后的低能，導致進入高年級后一碰到問題解決就無從下手。因此，在低年級的教學中，教師也應著眼于培養學生“深入分析”的能力。結合具體情境，將分析法和綜合法等思維方法在教學中合理滲透，使學生逐步掌握有效的思維路徑，獲得舉一反三的問題解決制勝法寶。
　　如在教學三年級《連乘問題》時，出示例題：每個方陣有8排，每排有10人。3個方陣一共有多少人？教師組織審題后，學生獨立思考，隨后展開交流。
　　師：要求總人數，必須知道哪兩個信息？
　　生：必須知道一個方陣的人數和方陣數。
　　根據學生回答，教師板書信息框架，并追問：哪個信息是已知的，哪個是未知的？
　　生：一個方陣的人數不知道。
　　師：怎樣求一個方陣的人數？
　　生：一個方陣有8排，每排有10人，一共有80人，10×8=80（人）。
　　師：根據學生回答，在圖上表示并概括“每排人數×排數=1個方陣的人數。
　　師補充完整框架圖：
　　師：剛才我們是怎樣思考這個問題的？（學生回顧“由問題指向條件”的分析法思路）
　　師：（指著框架圖）根據“每排人數”和“排數”可以求出什么？再根據什么求出總人數？（引導學生“從條件指向問題”的思路再次梳理）
　　上述片段，教師通過逐步剖析、縱向深挖、橫向聯系的方法，在教學過程中自然引入分析法和綜合法，合理抽象連乘問題的數學結構。在“潤物細無聲”的教學組織中，既幫助學生理清了解題思路，又錘煉了學生的分析能力，多次經歷之后，學生便能自覺學會“漁”之能力。
　　當然，分析能力的培養不是一蹴而就的，而是需要一個長期、系統的訓練。在一、二年級的問題解決訓練中可以側重于綜合法的訓練，提供多條信息，讓學生選擇信息想問題。兩步計算問題教學開始后可逐步注重培養用分析法思考問題，可以進行一些諸如“看問題想條件”之類的訓練，根據問題從題中尋找與之相匹配的信息。在具體的問題解決指導時，要引導學生合理利用兩種方法，融會貫通實現輕松解題。
　　三、“解題策略”相機滲透，建立思考路徑
　　問題解決的教學不能局限于獲得問題的具體答案，而應該讓學生在解決問題的過程中經歷思考過程，積累“問題解決”的策略，逐步將解題經驗和相應的解題策略進行類化和推廣，將個案經驗上升為一般策略與方法。低年級教材中并未專門安排“解決問題的策略”的教學內容，但這并非說明低年級問題解決不需要策略的支持。相反，由于低年級學生直觀形象的思維特點，通過擺實物、畫圖等逐步經歷符號化、數學化的過程，可適度形成解題策略，幫助建立思維路徑。
　　1．親歷思考過程，構建解題模型
　　解決問題過程中核心在于針對數量的相依關系，從所給問題情境中建構出解題模型，這應該是一個主動積極的思維過程，需要一定的策略支持。由于低年級學生思考問題更多地借助直觀手段，因此教師在問題解決過程中，應多給學生動手操作的機會，讓學生通過擺圓片、數小棒、折一折、圈一圈等方式，在“動手做”中尋找線索，明確數量關系；借助畫直觀圖、線段圖等，實現隱性思維顯性化，引導學生深層次理解題意。
　　（人教版一年級下《求一個數比另一數多（少）幾的問題》教學片段）
　　出示例題（先圖后文，根據學生提問后出示完整例題）：作業評比中，小雪得了6朵花，小磊得了4朵花。小雪比小磊多幾朵？
　　師：這題該怎樣思考呢？你可以擺圖片，可以畫一畫，也可以列式，試著解決這個問題。
　　學生操作后反饋。
　　師：你看到多幾朵嗎？小雪的花被分成幾部分？
　　根據學生回答，繼續畫圖得圖2。
　　師生分析：從小雪的花里面去掉和小磊同樣多的4朵，就是多出的2朵，所以用減法計算。列式6－4=2（朵）。
　　在嘗試解決“小磊比小雪少幾朵”時，師繼續引導：先請你擺一擺，怎樣擺能一眼看出少幾朵？
　　學生擺后，反饋得圖3。
　　師：對照兩幅圖，你發現了什么？這兩個問題有什么聯系和區別？
　　引導學生理解：雖然問題的提法不一樣，但都是小雪和小磊在比，小雪比小磊多的2朵就是小磊比小雪少的2朵，也就是他們相差2朵。求相差的2朵，只要從小雪的朵數里去掉和小磊同樣多的部分，所以都用6－4=2（朵）計算。
　　上述片段中，通過動手操作、符號表示、直觀思考等方式，學生親歷了解決問題的思考過程。借助直觀對比，深入到“一個數比另一個數多幾”和“少幾”的問題之間的內在聯系，透過現象直達本質，讓學生理解不管是“求多幾”還是“求少幾”，都是求“相差數量”，都是從“大數里去掉與小數同樣多的部分”，從而在深層次理解的基礎上達到溝通共融，建構起解決這類問題的基本模型。
　　2.經歷解題過程，形成系統思考
　　學生解決問題需經歷一個“信息獲取、理解問題、探求策略、列式解答、回顧反思”的過程，每一個環節都需要思維的深層介入。從低年級開始，教師就要有意識地讓學生經歷問題解決的每個環節，教給學生思維介入的路徑，在具體情節中適度強化并加以提煉，實現感悟。
　　為加強學生的解題能力，平時的解題過程，可概括地要求學生按照“一找、二想、三列、四思”的解題路徑，從找信息、想數量關系、列算式、檢驗反思等環節入手，讓學生自覺經歷解題過程，切實提高學生解決問題的能力。
　　綜上所述，數量關系既是應用題教學中的“舊酒”，也是“問題解決”教學中的“佳釀”。從低年級開始，教師就要重視和加強數量關系的教學，幫助學生感受、分析、建立和研究數量關系，只有讓“裝在新瓶中的舊酒”散發出“迷人的醇香”，才能切實有效地提高學生解決問題的能