教育“無痕”，精彩“有跡”

　　無痕教育是指“把教育意圖與目的隱蔽起來，通過間接、暗示或迂回的方式，給學生以教育的一種教育方式”（盧克謙語）。無痕教育的提出，雖來源于德育領域，但其所彰顯出來的人性化和科學性光輝，足以指導一切學科的教學行為。小學數學屬于初等數學的范疇，它揭示的是現實世界中最簡單的數量關系和幾何形體等知識。小學數學課程在內容的呈現上具有由淺入深、由易到難、循序漸進和螺旋上升的特點。小學數學的學科特征為數學教學中實施無痕教育提供了充分可能。“數學教學是數學思維活動的教學”（斯托利亞爾語）。兒童學習數學的過程是數學思維活動的過程。兒童思維的發展經歷著從低級到高級、從不完善到完善的發展過程。數學思維是一種隱性活動，且各種思維方式之間的彼此相連、融會貫通和發展變化本身就是一種無痕的狀態。
　　可見，小學數學教學過程應該遵循兒童學習數學的思維規律和小學數學學科的基本特性，通過教師的智慧，把作為科學的數學轉化為作為學科的數學，把作為文本的數學轉化為作為過程的數學，從而把“學術形態的數學”轉化為“教育形態的數學”，把“冰冷的美麗”轉化為“火熱的思考”，引導學生在無痕中學習數學和發展能力，獲得豐富的情智體驗。那么，數學教學中如何體現無痕的境界呢？本文試以“數與代數”領域第一、二學段的教學實踐為例略作分析。
　　一、不知不覺中開始學習
　　讓學生在不知不覺中開始學習，是無痕教育追尋的基本境界。實施無痕教育的前提是教師對所教內容的整體把握。因為小學數學學科的教學內容具有整體性和系統性，每冊教科書、每個教學單元、每一個課時、每一個知識點的內容之間都有著內在的聯系。優秀的教師總是能夠瞻前顧后，遷移滲透，把握所教內容與以前所學內容以及將來要學習的內容之間的實質性聯系，為學生選準合適的認知起點，讓學生在不知不覺中開始新知的學習。
　　案例一：《認識乘法》的新知引入片段。
　　師：今天我們到動物學校去參觀，大家開心嗎？
　　生：開心！
　　師：在這塊場地上你發現有幾種動物？
　　生：有兩種動物，是雞和兔。
　　師：這些雞和兔，它們今天是怎樣排列的？
　　生1：它們是分散排列的。
　　生2：它們是一堆一堆的。
　　生3：我發現兔總是2只靠在一起。
　　生4：我發現雞總是3只圍在一起。
　　師：大家觀察得真仔細！我們想知道有幾只兔，有幾只雞，該怎么辦呢？
　　生1：我數一數，1、2、3、4、5、6，有6只兔。
　　生2：我這樣數，2、4、6，有6只兔。
　　師：你為什么可以這樣數呀？
　　生2：因為兔子是2只2只在一起的。
　　師：是啊！2只2只地數，還可以這樣數呢——1個2，2個2，3個2。（圖像對應閃爍）
　　生：我還可以算出來呢！2＋2＋2＝6。
　　師：是啊！在這道連加算式里我們也可以2個2個地數。（引導學生看算式數）
　　上述教學片段中，通過一幅情景圖，讓學生不知不覺中再現了已有舊知（同數相加），不知不覺中激活了生活經驗（每份同樣多），不知不覺中生發了所學新知（求幾個相同加數還可以用乘法算），不知不覺中走向了數學本質（乘法的本質即是幾個幾）。
　　在不知不覺中開始，從教育心理學的角度看，是合適的學習起點，即明確學生“現在在哪里”。有了對教學內容的整體把握，就有了對學生原有認知與學習狀態的準確了解，就有了對學生生活經驗與思維體驗的適度掌握。有了這樣的教學前提，就能夠進一步明確把學生“將要帶向哪里”以及“如何走向那里”，從而無痕地將學生引向新知的邊緣，讓學生油然而生對新知學習的需求。
　　二、不露痕跡中理解新知
　　課堂的本體是兒童的學習，有效的數學學習必然建立在對兒童學習心理深度洞察的基礎之上。小學階段兒童的認知水平屬于皮亞杰指出的“具體運算思維”階段，其最大的特點是思維離不開具體事物的支持，這也導致小學兒童的感知、觀察力和記憶均處于初步發展水平，其學習數學的動機和興趣很不穩定。在這樣的前提之下，兒童學習數學的過程，需要充分借助形象直觀的教學手段，充分利用新舊知識的相互作用，以順應兒童的學習心理，讓兒童在不露痕跡中理解新知的意義。
　　案例二：《一位數乘兩位數》的新知學習片段。
　　出示例題情境圖讓學生列式后，通過以下三個步驟，結合直觀活動讓學生探索一位數乘兩位數的算理。
　　第一步，讓學生觀察直觀圖，讓學生先分別計算右邊筐里桃的個數（4×2=8）和左邊筐里桃的個數（10×2=20），然后直觀理解要把右邊筐里的和左邊筐里的桃相加，就可以算出一共有桃多少個（8＋20=28）。
　　第二步，讓學生操作小棒，每個學生在動手活動中經歷分別相乘再相加的算理。
　　第三步，結合學生的觀察、操作和對照活動，逐步形成如下初始豎式（如下圖）。
　　教學至此，如果按照一般慣例，直接由老師引導學生把上述初始豎式縮減為簡化豎式的話，學生也是能夠接受并模仿運算的，但是這卻失去了一次幫助學生探索抽象算法、體驗思維過程、積累活動經驗的良好機會。因此，筆者教學時又做了如下三步設計。
　　第一步，讓學生運用剛建立的豎式模型進行模仿計算（題目如下）。
　　第二步，組織學生觀察例題的豎式和模仿的豎式，并提問：“這些算式有什么共同的地方？”有學生說：“它們都是兩位數和一位數乘。”有學生說：“第一次乘下來都得一位數，第二次乘下來都得整十數。”有學生說：“得數個位上的數就是第一次乘得的數，十位上的數就是第二次乘的數。”有學生說：“相加時個位上0加一個數還得這個數，十位上的數也寫了兩次。”還有學生說：“這樣寫有點煩，有些地方好像不要寫兩次的。”……
　　第三步，在學生充分體驗了豎式計算的過程之后，教師提出：“那怎樣書寫就可以更簡便一些呢？”讓學生討論并由老師動態演示例題從初始豎式到簡化豎式的過程，得到簡化豎式（如上面的右圖），并讓學生自己動手，把剛才計算的三道初始豎式改寫成簡化豎式。
　　以上教學過程中，教師沒有簡單地立即讓學生用所謂簡化豎式計算，而是在實際計算中使學生進一步理解一位數乘兩位數的算理，同時通過觀察、比較，找出這些初建豎式的共同點，進而產生簡化豎式的需要，在此基礎上不露痕跡地自然引出簡化豎式。這樣的學習過程，學生在算理的理解過程中自己發現了計算規律，自己產生了簡化的心理需要，自己探索出了簡化豎式的寫法，在無痕中充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握。
　　三、潛移默化中掌握技能
　　學生學習數學的過程，既是在教師引導下的意義建構過程，也是在自身需求發展中的自主建構過程。無痕教育視野下的數學學習過程，更主要地體現為教師精心設計學生的學習進程，從某種意義上說是一種“進”與“退”的藝術。通過適當的“退”和必要的“進”，能使得學習過程成為學生潛移默化地掌握知識和技能的過程。從某種意義上說，“退”是“進”的準備和基礎，“進”是“退”的發展與提升。在課堂上，“進”“退”之間體現的是一種行云流水般的從容節奏，是一種水乳交融般的無痕狀態。
　　案例三：《解決問題的策略（倒推）》的新知學習片段。
　　通過如下一組連貫性的學習材料，引導學生在問題解決中不斷經歷數學模型的建立過程。
　　（1）一個杯子里原有一些果汁，喝了60毫升后，又倒入80毫升，現在有240毫升。這杯果汁原有多少毫升？
　　讓學生通過畫示意圖，了解果汁數量變化的順序，初步嘗試倒推的策略。（如下圖）
　　并列式解答：240-80＋60＝220（毫升）
　　（2）
　　學生運用直觀表格來展示數量的變化情況，并運用倒推策略得出原來兩杯果汁的數量。
　　（3）甲、乙、丙三杯果汁共900毫升，從甲杯倒入乙杯80毫升，再從乙杯倒入丙杯30毫升，現在三杯果汁同樣多。原來甲、乙、丙三杯果汁各有多少毫升？
　　以上問題解決活動的流程設計，通過一杯果汁的兩次變化，發展到兩杯果汁的一次變化，再發展到三杯果汁互相變化，讓學生動手畫圖、列表、列式，在具體的數學活動之后圍繞關鍵性問題思考：“發生了幾次變化？”“是怎么變化的？”“什么變了？什么沒變？”“怎樣能夠求出原來的毫升數？”通過摘錄條件整理信息→畫圖列表表達關系→列出算式解決問題，學生充分體驗倒推策略的具體形成過程，即解決問題時要逆著事情變化的順序，把后發生的變化一步步倒回去，直至事情的原來狀況，進而把握倒推策略應用的模型特征是“已知現在，要求原來”。這樣的數學活動過程，動靜結合，數形結合，順逆結合，讓學生不斷積累數學活動經驗，深刻理解倒推策略的本質，體驗倒推策略的應用價值。
　　這種“進”與“退”的過程，是學生潛移默化地掌握知識與技能的過程，也是學生不露痕跡中培養思維能力的過程，更是學生淡墨無痕中發展數學思想的過程。從這個意義上說，數學教學的智慧就在于教師能在“進”與“退”之間游刃有余。
　　四、春風化雨中感悟思想
　　無痕教育理念指導下的數學課堂，是學生享受教師服務的過程，也是學生自主學習、主動發展的過程。這樣的過程中，學生的學習經歷應是充實而快樂的，學習結果是有效的，學習的過程是充滿智慧的。理想的課堂教學過程，似雪落春泥，悄然入土，孕育和滋潤著生命。雖無痕，卻有聲有色，有滋有味；雖無痕，卻如歌如樂，如詩如畫。
　　案例四：《認識11～20各數》的新知學習片段。
　　（此案例來源于曾小平、韓龍淑《十進制計數法的數學本質與教學》一文，載《小學教學》2011年第5期。）
　　設計如下四個層次的認數活動：
　　第一層次——體會單個計數的局限性。讓學生往空白計數器的個位上一顆一顆地放珠子，當放到10顆珠子時，珠子已經和計數器的鐵絲差不多高了，然后再接著放珠子進行數數，等放到15顆珠子時，珠子掉下，學生拾起來又重新放，又掉下……通過這樣的操作活動使學生意識到，個位上能放的珠子是有限的，從而引起認知沖突，產生解決新問題的內在需要。
　　第二層次——體會“要用一個代表多個”。讓學生在剛才的操作活動之后，針對新問題進行討論，逐步尋找到簡便的辦法，即用一個珠子代表多個珠子，并進一步得出為了交流和表達的清楚，通常用十位上的一個珠子代表個位上的10個珠子，叫做“滿十進一”。
　　第三層次——操作中理解“滿十進一”。讓學生動手，在計數器上分別表示9、10、11、13、16等數，在動手操作中反復體會“滿十進一”，充分理解十進制計數法的規則。
　　第四層次——操作中體會“退一當十”。在學生多次操作計數器，熟練表示0～20各數之后，將這一過程倒過來，讓學生用計數器表示20～0。當表示19時，強調從十位取下1顆珠子，用個位上的10顆珠子替換它，然后從個位上拿走1顆珠子，使學生了解這是“退一當十”。從10到9時，再次進行體會。
　　以上的教學設計，不同于一般的認數教學流程。這四個層次的活動設計渾然一體，針對認數教學的規律，滲透十進制計數法的來源和本質，不斷讓學生動手操作與交流討論，讓每個學生經歷了十進制計數法產生的需要，體驗了“滿十進一”和“退一當十”的變化過程。在這樣的實踐活動和思維活動中，學生對數的意義和組成掌握牢固，對十進制計數法的產生背景理解深刻，更重要的是在無痕中學生感悟了數學思想，積累了豐富的數學活動經驗。
　　總之，我所理解的數學無痕教育，是建立在數學教育的心理學、美學和哲學內涵基礎上的一種教育境界。數學無痕教育是讓學生在不知不覺中開始學習，在不露痕跡中理解新知，在潛移默化中掌握技能，在春風化雨中感悟思想。數學無痕教育，是一種理想的教育，一種智慧的教育。無痕，是教育的自然和