獲得數學活動經驗的四個不等式

　　數學活動經驗是指在教學目標的指引下，在數學活動過程中形成并在遇到相似情境時可以憶起的某種體驗、方法性知識或某種觀念。隨著新課程標準的修訂頒布，數學活動經驗在課程目標中被作為“四基”之一進一步明確，地位得到進一步凸顯，其作為數學課堂教學的核心目標予以落實已成為大家的共識。但在實際的教學過程中，數學活動經驗的獲得往往只是停留于理念層面，浮于表面，追求形式。現結合案例談談筆者的想法。
　　一、 “活動了”不等于“建構了”
　　生動活潑、主動而富有個性的學習活動，對于學生經歷數學學習過程、獲得數學發展具有重要意義，然而如果只把焦點放在活動的熱鬧與否、學生參與的積極性上，難免會出現脫離概念本質、遠離數學意義的尷尬。
　　教學“三角形穩定性”這一課，為了讓學生體驗三角形穩定性和平行四邊形的易變形，教師給每個學習小組準備了用釘子連接木棒后組成的三角形、平行四邊形學具。學生組內配合，用力拉（推）學具，氣氛十分熱烈。三角形怎么拉也不動，平行四邊形輕易就能拉（推）動，兩者對比明顯，學生印象十分深刻。可是，當練習中出現樓梯扶手中平行四邊形形狀的圖形時，許多學生也認為它具有穩定性，原因是“這個圖形很結實，怎么拉（推）都不會動的。”原來，學生從活動中得到的“經驗”是：凡是使勁拉（推）、物體形狀不變的就具有穩定性，拉（推）得動就不具穩定性。顯然，與三角形穩定性的概念“三角形三條邊長度確定，其大小、形狀也就確定”的活動經驗要求相背。如果把活動修正，讓學生用三根小棒圍成不同的三角形，引導學生觀察交流，體驗出所圍成的三角形“除了姿勢不同外，形狀和大小完全一樣”這一穩定性概念的本質，就可以有效地避免理解歧義。
　　要知道，學生的數學活動經驗是在參與數學活動的基礎上獲得的，有什么樣的數學活動，學生就能得到相應的數學活動經驗。只有符合數學本質的數學活動，才能在對話交流與深刻反思等作用下，使得原初經驗得到改造和提升，完成數學活動經驗從低層次理解到高層次建構的生長。
　　二、 “經歷了”不等于“獲得了”
　　數學活動經驗必須以數學活動經歷為基礎，但學生經歷或參與了數學活動，并不意味著他們就能獲得充足的數學活動經驗。數學活動經驗有別于日常生活經驗，必須是指向教學目標的學習活動的結果，往往需要在類似的數學活動中反復經歷，在思維的碰撞、選擇、重新定向中才能獲得。
　　教學“可能性”時，需要讓學生經歷摸球活動，體會游戲規則的公平性。課前調查中了解到，不少學生把游戲規則的公平理解為：紅黃兩種顏色的球的個數相等，在游戲規則公平的前提下，游戲的結果應該是摸到兩種球的個數完全相等。這個認識誤區正是教學中的難點所在，如果僅僅讓學生在課堂上經歷“哪種顏色球摸到次數多，哪種顏色球摸到次數少”的操作過程，而缺少有效的提煉總結，經歷便只是一種形式，最終得到的只能是缺失數學意義的不完整的基本活動經驗。因為摸球活動本身并不具備多少數學意義，只有數學思維的深度介入才使其具有數學意義。
　　因此，教學中需要注意兩個方面：一是經歷活動體驗前的預測。教師提問：“現在，紅球和黃球的個數一樣多了，你覺得摸球的結果會怎樣呢？”生1：“兩種球摸到的次數應該相等。”生2：“兩種球摸到的次數應該差不多。”……師：“在規則公平的情況下，摸球的結果到底會怎樣呢？實踐出真知，大家分組動手試一試。”學生進行摸球活動，教師巡視。二是經歷體驗后的數據分析總結。師：“觀察各小組的活動記錄，大家有什么發現？”生：“有的摸到紅球次數多一些，有的摸到黃球次數多一些，也有相等的；我覺得公平只是表明了摸到的可能性相同，摸球的結果并不一定每次都是一樣多的。”……師：“看來，游戲規則的公平，只是表示雙方贏的機會均等，即理論上來說是相等的，實際操作中更多的時候是差不多。假如我們把各組的結果都匯總起來又會有什么發現呢？”……活動經歷并不等同于活動經驗。指導學生對各組的統計數據進行比較及對各組數據匯總后再審視的分析方法，提升了數學思維含量，有利于將數學經歷中悟到的感性經驗上升到理性認識，對于學生獲得真正意義上的數學活動經驗顯得尤其重要。
　　三、 “親歷的”不等于“唯一的”
　　有的教師認為，既然是活動經驗，那就一定是學生親歷所得。其實不然，親歷，是獲得數學活動經驗的重要方式，但卻不是唯一的方式。小學生獲得數學活動經驗的途徑，與其“具體形象思維為主，從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡”的思維特點相符合，即在主要參與具體活動中獲得直接經驗的同時，也應當尋求在直接經驗無法獲得時，以觀察經驗等作為“替代性經驗”來彌補直接經驗的不足。
　　教學“圓的面積”時，學生通過操作，把圓先后平均分成了4份、8份、16份、32份……分的份數越多，每一份小扇形就越接近“小三角形”，拼成的圖就越接近“長方形”，而真實的數學活動結果是不是這樣？由于手工操作越來越難，學生很難得到具體直觀圖形的驗證。這時，教師適時地播放課件，形象直觀演示出“化曲為直”的動態變化過程。學生在觀察過程中獲得了觀察經驗，一致得出了每一份小扇形 “就是小三角形”，拼成的圖“就是長方形”的結論，驗證了想象、推理的結果，滿足了心理需求，獲得了極大的情感體驗，充實了數學活動經驗的具體內容。
　　又如在解決問題“有一臺插秧機的作業寬度是2.1米，按每小時行進6千米的速度計算，每小時可以插秧多少平方千米？”時，對于沒有見過插秧機工作的學生，很難理解“作業寬度”的含義。如果條件許可，教師可以組織學生去實際觀察插秧機播種的場景，也可以播放視頻或者制作課件進行演示，從而使學生積累關于“作業寬度”的經驗；甚至有教師給學生做這樣的演示：把黑板看作是一塊等待插秧的田地，將一枝粉筆橫臥看成是插秧機，隨著“開始插秧”的指令，粉筆慢慢地前進，黑板上漸漸出現了長方形的粉筆經過的痕跡，老師引導學生理解：“粉筆的長相當于粉筆畫出部分的寬度，也就是插秧機的作業寬度”。學生在愉悅的氣氛中理解了作業寬度。
　　由此可見，適時運用現代教育技術手段，或者因地制宜，充分整合動手操作、板書演示等各種教學手段，讓學生在觀察、模仿、想象中獲得類似于身臨其境的親歷體驗，可以有效促進學生獲得廣泛的、豐富的、完整的數學活動經驗。
　　四、 “積累了”不等于“提升了”
　　數學學習一個明顯的特點是具有累積性，后一階段的學習是建立在學生已有知識經驗基礎之上的，是對前一階段知識經驗的深化與發展。因此，如果僅僅滿足于學習過程中某一感性層面的粗淺的生活經驗或活動經驗的獲得，那是遠遠不夠的，需要通過一定的教學手段，引導學生對活動過程進行總結、反思與提升，揭示出感性經驗背后的理性、抽象的數學經驗，真正把感性經驗提升到理性經驗，讓學生學習思考的數學。
　　教學“分數的意義”時，引導學生取一張正方形紙，用折一折的方法，表示出其中的1/2。學生憑借已有的經驗，折出了多種方法，如圖1～圖4：
　　對于這些折法，許多老師覺得關于1/2的活動經驗積累已經足夠多了。事實上，如果僅停留在這幾種具體折法上，學生獲得的還只是表面的生活經驗。可以引導學生進一步觀察、比較：“比一比這四種折法，你能找出它們有什么共同的地方？”讓學生深入思考，交流得出“這些折痕都經過了正方形的中心點”，然后讓學生再次動手驗證：“那你覺得沿正方形的中心點對折，每一份都會是正方形的1/2嗎？”學生由此又探索出新的折法，如圖5、圖6，從而把學生個別的、膚淺的實踐經驗提升為普遍的、抽象的理性經驗，使學生認識到“只要沿正方形的中心點對折，其中的一份就可以用1/2來表示”這一具有廣泛意義的數學概念。
　　這種重思考、重探究的方法性活動經驗，是對學生既有經驗的篩選、整理、優化和提升，能夠有效實現數學經驗的改造和重組，以幫助學生生成新的經驗，促進學生的活動經驗上升到更高水平，使模糊的變得清晰，片面的變得完善，錯誤的變得正確，零散的變得結構化。
　　總之，教師要從有利于促進學生主動建構數學的高度出發，注意適時積累和提升學生的數學活動經驗，引領學生經歷“數學化”的過程，讓學生由表及里獲取理性的數學經驗，使學生的數學學習成為學科的數學，理性的數學，有意義、有價值的數學，進而促進學生主動、可持續的數學發