“平行四邊形面積”的教學(xué)猜想與驗證

　　探究是建立在問題的基礎(chǔ)上的，所以通過什么樣的問題來引起學(xué)生對平行四邊形面積的學(xué)習(xí)興趣，就成為教師開展教學(xué)工作時的首要任務(wù)。能夠作為對“平行四邊形面積”進行探究的出發(fā)點就是：長方形面積=長×寬。由此可以看出，學(xué)生對平行四邊形的面積并非是一無所知的，畢竟長方形是一種特殊的平行四邊形，這樣就產(chǎn)生了第一個探究性問題：能否從長方形面積的計算公式出發(fā)，推導(dǎo)出平行四邊形面積的計算公式。
　　作為一種特殊的平行四邊形，長方形的長與寬并不僅僅代表平行四邊形的鄰邊，也可以指代特殊平行四邊形的底和高。由此可以得出兩個猜想：
　　（1）平行四邊形面積=一邊長×鄰邊長。
　　（2）平行四邊形面積=底×高。
　　我們從長方形面積出發(fā)，獲得了上述兩個猜想，它們對于長方形這種特殊的平行四邊形而言無疑是正確的，但是否適用于一般的平行四邊形則需要進一步驗證，而驗證過程就是對推論進行證明或推翻的深入探究過程。
　　在教學(xué)中，很多學(xué)生會提出第一個推論，他們認為，通過對構(gòu)成長方形的邊進行移動，就可以獲得平行四邊形，因此平行四邊形的面積理應(yīng)為一組鄰邊的乘積。當(dāng)然，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)這一推論是錯誤的。不過在這一過程中，學(xué)生卻能夠掌握“舉出一個反例，來推翻不成立的猜想”這種重要的學(xué)習(xí)方法。
　　在筆者的小學(xué)教育實踐中，尚未發(fā)現(xiàn)一例提出第二種推論的學(xué)生。在課堂教學(xué)中，很多教師都會采用讓學(xué)生動手折疊、割補圖形的方法讓學(xué)生掌握長方形可由平行四邊形轉(zhuǎn)化這一內(nèi)容，進而發(fā)現(xiàn)原平行四邊形底、高與新長方形長、寬之間的對應(yīng)關(guān)系，最終得出平行四邊形的面積計算公式。這種探究方法實際上就是將特殊歸為一般，將未知轉(zhuǎn)為已知的思考過程。通過這一過程，學(xué)生對平行四邊形面積計算公式的理解完全可以上升到探究認識的水平。
　　小學(xué)教育除了要推動學(xué)生在某一學(xué)科學(xué)習(xí)能力的發(fā)展外，也應(yīng)注意對一般發(fā)展進行促進。對于小學(xué)數(shù)學(xué)教育而言，除了要幫助學(xué)生理解和掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，還要促進學(xué)生在學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)造能力、思維能力、情感態(tài)度等方面的發(fā)展。按照這種觀點，如果數(shù)學(xué)探究過程僅以學(xué)生對某一知識點的理解和掌握為中心，那么這種探究就是不完善的。學(xué)生無法從所經(jīng)歷的探究過程中獲得有關(guān)科學(xué)方法的引導(dǎo)，也就無法形成有關(guān)“如何進行數(shù)學(xué)探究”的更高等級的學(xué)習(xí)思想。
　　相對而言，將猜想、驗證的過程內(nèi)化在有關(guān)平行四邊形面積的教學(xué)活動中，將探究的方式與對象有機地結(jié)合到一起，無疑是一種更加理想、更具創(chuàng)新性的教學(xué)設(shè)計。不過，此種教學(xué)設(shè)計是否符合小學(xué)生認知能力發(fā)展的實際情況，是否能夠?qū)⒔虒W(xué)設(shè)計轉(zhuǎn)變成具體的課堂現(xiàn)實則需要通過創(chuàng)造具體、真實的教學(xué)案例進行研究和驗證。
　　期望學(xué)生從已經(jīng)掌握的長方形面積的計算公式出發(fā)，在脫離教師指導(dǎo)和幫助的情況下獨立完成第二種猜想在大多數(shù)情況下都是不現(xiàn)實的，其原因在于小學(xué)生尚不擁有足夠的圖形分析經(jīng)驗。長方形是平行四邊形概念上的外延，因此長方形的長、寬可以理解為它的底與高，但是小學(xué)生大多會將它們看做不同的概念，無法自覺地將其聯(lián)系在一起。正是受這種因素的影響，在對學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)進行引導(dǎo)的同時，教師還必須給學(xué)習(xí)方式的傳授留有余地，即教師可以將第二種猜想作為一種學(xué)習(xí)方式傳授給學(xué)生，向他們展示這種猜想的思維過程，使學(xué)生能夠體會到這種思維方式的依據(jù)、合理性以及對今后學(xué)習(xí)的重要意義。學(xué)生的學(xué)習(xí)不能單純模仿，但是也不能脫離模仿，教師的工作就是要將模仿轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛑R的發(fā)展和創(chuàng)造提供便利的階梯。很多時候，教師的示范都是最好的指導(dǎo)方式，其所發(fā)揮的積極作用是其他指導(dǎo)方法所無法取代的。
　　在有關(guān)平行四邊形面積的傳統(tǒng)課堂教育中，有很多教師無法很好地應(yīng)用圖形的變式發(fā)展，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維深化的探究性學(xué)習(xí)無法得到有效開展。如果我們能夠在學(xué)生獨立探究、自主發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，設(shè)置相應(yīng)的問題來引導(dǎo)其進一步深入探究，不是會收到更好的教育價值和意義嗎？例如，教師可以提出這樣的問題：能否通過割補的方式將下面的平行四邊形轉(zhuǎn)變?yōu)殚L方形，并使生成的長方形的長與寬分別與平行四邊形的短邊和對應(yīng)的高相等？
　　這一問題的難點在于，無法從平行四邊形中尋找到較短邊上的高，只切割一次無法得到符合要求的長方形，學(xué)生因此會在如何割補上花費一番心思。在這個思考、操作、探索的過程中，學(xué)生的空間智慧和關(guān)于圖形變換的經(jīng)驗都會得到有效提