源自一道課本習(xí)題的探究、拓展

倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式是新課程的基本理念.高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立的“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建模”等學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造了有利條件.在教學(xué)中努力“使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣”成為教師的基本職責(zé).在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師有意識地選擇典型問題，指導(dǎo)和引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究拓展是培養(yǎng)學(xué)生實踐能力、發(fā)展創(chuàng)新意識的重要途徑.

就語義而言，據(jù)“辭海”的解釋，“研究”指“用科學(xué)的方法探求事物的本質(zhì)和規(guī)律”，“探究”則指“深入探討，反復(fù)研究”.就數(shù)學(xué)問題的探究而言，是指對問題的規(guī)律性進(jìn)行研究、對問題的條件與結(jié)論依存關(guān)系進(jìn)行研究、對問題的解決策略進(jìn)行研究，這些都是拓展性學(xué)習(xí)，有助于形成數(shù)學(xué)的知識體系、學(xué)習(xí)方式和思維能力.

眾所周知，教材中的習(xí)題是編者精心挑選，再三醞釀后挑中的，具有典型性、示范性和針對性，既可以幫助學(xué)生理解基礎(chǔ)知識、運(yùn)用基本技能，又可以幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)行思維訓(xùn)練.蘇教版新教材在習(xí)題設(shè)置方面與舊教材相比有很大改進(jìn)，涉及知識面很廣，可供不同層次的學(xué)生選用，為教學(xué)提供了很好的素材.為了更好發(fā)揮教材習(xí)題的功能，教師首先要研究習(xí)題的內(nèi)涵，挖掘課本習(xí)題類型，使習(xí)題的使用更具有針對性，更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，探索問題引申途徑，以便更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

通過上述思考解答，相信一定能夠促進(jìn)求曲線方程基本技能的掌握和思維的嚴(yán)謹(jǐn).

二、改變構(gòu)成命題的基本前提、條件假設(shè)和要求是探究的重要方法

數(shù)學(xué)命題一般都是包含前提、條件假設(shè)和基本要求幾個組成部分，通過對它們的變更探究，獲得對問題的本質(zhì)認(rèn)識，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識體系的豐富、完善，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的拓展.通常可以采用單因素改變的方式，尋求新的認(rèn)知.

本題中，構(gòu)成命題的基本前提是給定的“兩個定點(diǎn)”，假設(shè)的條件是“動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離”，要求是“距離之比”.探究就是對基本前提和約定假設(shè)與要求可以采用單因素改變的方式，尋求新的認(rèn)識.

基于幾何中點(diǎn)與線的相似性，兩點(diǎn)間距離和兩點(diǎn)連線斜率可比性，四則運(yùn)算的協(xié)調(diào)與統(tǒng)一，對本題進(jìn)行如下的教學(xué)探究安排，以求獲得比較全面的深化.

4.把“距離之比”改為“距離之和或距離之差或距離之積”

依然可以指導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板功能，進(jìn)行軌跡形態(tài)的探索，教師指導(dǎo)當(dāng)距離之和（差、積）在滿足一定條件下，對應(yīng)的軌跡為橢圓、雙曲線和卵形線.

可以引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板功能探求軌跡，教師要知道當(dāng)符合一定條件下，對應(yīng)的軌跡為橢圓、雙曲線和卵形線.

上述教學(xué)實踐，是教學(xué)過程中的一部分實錄，雖是片段，卻能完整地體現(xiàn)教學(xué)設(shè)計.作為一道習(xí)題的探究拓展，用了3個教學(xué)課時，不知是否妥帖.

當(dāng)然，在上述實踐的基礎(chǔ)上，可以根據(jù)學(xué)習(xí)者的實際，采用多因素改變法，獲得更加寬闊的視野，這也是歸因分析中的重要智慧.如，我們可以探求動點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線斜率的乘積為定值時的軌跡，并且由于斜率的取值可以擴(kuò)大到實數(shù)，因此解題就呈現(xiàn)豐富多樣性.也可以探求與定點(diǎn)連線的斜率與定直線距離的各種運(yùn)算制約下的軌跡等.

三、習(xí)題的探究拓展教學(xué)應(yīng)當(dāng)有明確的目標(biāo)，并且適可而止

1.全面理解數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，其根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧，盡管這樣的探究拓展學(xué)習(xí)需要占用一定的教學(xué)課時，在教學(xué)中如何處理教學(xué)進(jìn)度和學(xué)習(xí)能力的發(fā)展需要教師進(jìn)行認(rèn)真思考和研究.就個人的教學(xué)體會，適當(dāng)?shù)匕才胚@樣的教學(xué)實踐活動，對學(xué)習(xí)者的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)是非常重要的途徑.

2.教學(xué)中的探究拓展性學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)充分尊重學(xué)習(xí)者的基礎(chǔ)，切忌盲目.在本題的探究拓展中，尤其是2.4的內(nèi)容，本人僅利用幾何畫板作了必要的介紹，因為方程與曲線的關(guān)系以及方程推導(dǎo)還是有一定的技術(shù)難度的.探究拓展時為了鞏固技能，形成知識體系，不能因為難度而影響學(xué)習(xí)者自主研究的積極性和興趣.

3.培養(yǎng)學(xué)生的探究拓展習(xí)慣和能力需要教師的不斷努力.如果教師對問題的認(rèn)識和處理的價值追求正確深刻，學(xué)生一定會努力的.

（作者單位 南京財經(jīng)學(xué)校）