機械臂位置跟蹤自適應(yīng)反演滑模控制律設(shè)計

席雷平，朱一鳴，李小民，張華英

（1.軍械工程學院光學與電子工程系，河北石家莊 050003；2.華北電力大學能源與動力工程學院，北京 102206；3.石藥集團中諾藥業(yè)（石家莊）有限公司，河北石家莊 050041）

機械臂位置跟蹤自適應(yīng)反演滑模控制律設(shè)計

席雷平1，朱一鳴2，李小民1，張華英3

（1.軍械工程學院光學與電子工程系，河北石家莊 050003；2.華北電力大學能源與動力工程學院，北京 102206；3.石藥集團中諾藥業(yè)（石家莊）有限公司，河北石家莊 050041）

針對機械臂位置跟蹤控制問題，設(shè)計了一種新型自適應(yīng)反演滑模控制律。該方法利用機械臂各關(guān)節(jié)的位置和速度誤差建立了滑模面函數(shù)，并根據(jù)反演原理設(shè)計了反演滑模控制律。然后，通過設(shè)計合適的自適應(yīng)律對外部擾動進行在線補償，降低了系統(tǒng)對外部擾動的敏感性，有效地抑制了系統(tǒng)的抖振。最后利用Lyapunov定理證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果說明該控制律具有較好的控制性能。

機械臂；反演滑模控制；自適應(yīng)；抖振

機械臂作為一類非線性系統(tǒng)，具有強耦合、時變、模型不確定等特點，而且在實際控制中會受到內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)變化和外部干擾等因素的影響。滑模控制和反演控制由于對系統(tǒng)的不確定性具有強魯棒性，因此被廣泛應(yīng)用于該類控制系統(tǒng)中［1］。滑模控制對于模型參數(shù)的不確定性具有強魯棒性，但是存在“抖振”問題［2］。反演控制是一種針對控制對象的變化和環(huán)境干擾影響而提出的控制策略［3］，它采用反復(fù)選擇合適的狀態(tài)空間函數(shù)作為控制輸入，通過迭代、反推和Lyapunov函數(shù)的優(yōu)化，進而完成整個控制器的設(shè)計。將滑模控制與反演控制相結(jié)合，既可以簡化反演控制的設(shè)計，又可以增加系統(tǒng)對非匹配不確定性的魯棒性，因而受到了學者們的關(guān)注［4－5］。

筆者針對機械臂系統(tǒng)位置跟蹤魯棒性的要求，考慮外加干擾及系統(tǒng)不確定性等因素的影響，設(shè)計了機械臂自適應(yīng)反演滑模控制律。該控制律融合了滑模控制和反演控制的優(yōu)點，對機械臂的外部擾動信號進行了在線補償，降低了系統(tǒng)對外部擾動的敏感性，有效抑制了系統(tǒng)的抖振，并具有良好的全局穩(wěn)定性和跟蹤特性。

1 機械臂動力學模型

基于拉格朗日運動學建立的n關(guān)節(jié)機械臂的動態(tài)方程為［6］

式中：q∈Rn分別為位置矢量、速度矢量和加速度矢量；M（q）∈Rn×n為正定慣性矩陣；C（q，˙q）∈Rn×n為離心力和哥氏力矩陣；G（q）∈Rn為作用在關(guān)節(jié)上的重力項矢量；u∈Rn為關(guān)節(jié)控制力矩；f∈Rn是外部擾動信號，具體包括建模誤差、參數(shù)變化以及其他不確定因素。

圖1 兩關(guān)節(jié)機械臂結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Diagram of two degrees of freedom robotic manipulator model

對于兩關(guān)節(jié)機械臂，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1中，m1和m2分別為連桿1和連桿2的質(zhì)量，且以連桿末端的點質(zhì)量表示；l1和l2分別為連桿1和連桿2的長度；q1和q2為關(guān)節(jié)角度；g為重力加速度。

根據(jù)拉格朗日方程建模方法［7］推導(dǎo)出兩關(guān)節(jié)機械臂動力學模型的相關(guān)參數(shù)為

2 自適應(yīng)反演滑模控制器設(shè)計

2.1 反演滑模控制器設(shè)計

為進行系統(tǒng)設(shè)計，對系統(tǒng)進行必要的假設(shè)。

假設(shè)1：輸入指令qd及其n階導(dǎo)數(shù)是存在且有界的。

假設(shè)2：外部擾動信號f是有界的，且上界fU是未知的，且｜f｜＜fU。

在機械臂系統(tǒng)滿足假設(shè)1和假設(shè)2的前提下，參考文獻［8］和文獻［9］中反演控制器的設(shè)計思想，并結(jié)合滑模控制的相關(guān)理論，對機械臂反演滑模控制器進行了設(shè)計，具體包括2個步驟。

步驟1 將系統(tǒng)的控制輸出誤差向量z1定義為

對式（2）進行求導(dǎo)，可得

定義Lyapunov函數(shù)：

取虛擬控制量α1＝c1z1，其中c1∈Rn×n為對稱、正定常值矩陣。定義

由式（4）和式（5）可以得到

式（6）中，如果z2＝0，則為系統(tǒng)的控制輸出誤差向量z1的二次型函數(shù)，有≤0，因此，需要進行下一步設(shè)計。

步驟2 對式（5）進行求導(dǎo)，可得

由機械臂的數(shù)學模型式（1）可知：

由式（7）和式（8）可以得到：

定義Lyapunov函數(shù)：

其中s為滑模面函數(shù)，其定義為

式中k1∈Rn×n為對稱、正定常值矩陣。

對式（10）進行求導(dǎo)，可得

2.2 自適應(yīng)律設(shè)計

在實際機械臂控制系統(tǒng)中，外部擾動信號f是很難預(yù)知的，為了避免采用f的上界問題，在上述機械臂反演滑模控制器設(shè)計的基礎(chǔ)上，運用自適應(yīng)控制的相關(guān)理論對機械臂的外部擾動信號進行補償，以滿足到達條件。

在前面反演滑模控制器設(shè)計的基礎(chǔ)上，采用自適應(yīng)算法對外部擾動信號f進行預(yù)估。定義為未知不確定項f的估計值，則估計誤差為

在式（10）的基礎(chǔ)上，定義Lyapunov函數(shù)為

式中γ為一正常數(shù)。

對式（14）進行求導(dǎo)，可得

根據(jù)式（15），并參考文獻［10］，設(shè)計自適應(yīng)反演滑模控制律如下：

式（16）中，ueq為等效控制，uvss為切換控制，用于對不確定項和擾動進行補償，以滿足到達條件。h∈Rn×n為對稱、正定常值矩陣，β為正常數(shù)。

自適應(yīng)律設(shè)計為

2.3 穩(wěn)定性分析

將式（16）—式（19）代入式（15），可得

式（20）可以寫成如下形式：

通過適當選取常值矩陣c1，k1和h，可保證P為正定矩陣，從而保證≤0。通過上述自適應(yīng)反演滑模控制器的設(shè)計，使得系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定性理論條件，z1和z2以指數(shù)形式漸近穩(wěn)定，從而保證系統(tǒng)具有全局意義下指數(shù)的漸近穩(wěn)定性，即保證了機械臂各關(guān)節(jié)能夠按照期望軌跡進行運動。

3 系統(tǒng)仿真

選取兩關(guān)節(jié)機械臂為控制對象，利用Matlab軟件對其軌跡跟蹤性能進行仿真研究。已知兩關(guān)節(jié)機械臂的系統(tǒng)參數(shù)：m1＝1kg，m2＝2kg（包含負載），l1＝1m，l2＝0.8m，兩關(guān)節(jié)的期望運動軌跡為qd1＝qd2＝0.8×sin（0.5πt）rad，系統(tǒng)初始條件q（0）＝［0.5 －0.5］T，˙q（0）＝［－0.3 0.3］T。取γ＝3，β＝2，c1＝diag（5，5），h＝diag（1，1），k1＝diag（3，3）。

外部干擾信號定義為

采用常用的反演滑模控制律（外部擾動信號f的上界fU的估計值取為3N·m）和本文設(shè)計的自適應(yīng)反演滑模控制律對機械臂的軌跡跟蹤控制性能進行仿真。圖2和圖3是分別采用2種控制策略得到的仿真實驗結(jié)果。

圖2 機械臂反演滑模控制律仿真曲線Fig.2 Robotic manipulator simulation curves based on backstepping sliding mode control law

圖3 機械臂自適應(yīng)反演滑模控制律仿真曲線Fig.3 Robotic manipulator simulation curves based on adaptive backstepping sliding mode control law

從圖2和圖3中可以看出，在系統(tǒng)存在建模誤差和外部干擾的情況下，傳統(tǒng)的反演滑模控制和本文設(shè)計的自適應(yīng)反演滑模控制在機械臂關(guān)節(jié)角位置跟蹤性能上差別較小，自適應(yīng)反演滑模控制略好于反演滑模控制；但在抖振消除上，筆者設(shè)計的自適應(yīng)反演滑模控制的效果明顯優(yōu)于反演滑模控制，說明該控制律對于外界擾動具有較好的魯棒性。

4 結(jié) 語

針對帶有建模誤差和干擾的機械臂系統(tǒng)，設(shè)計了自適應(yīng)反演滑模控制律，并構(gòu)造了Lyapunov函數(shù)，證明了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。針對系統(tǒng)控制中外界擾動的不確定上界問題，采用自適應(yīng)方法對其進行在線補償，降低了系統(tǒng)對外部擾動的敏感性，削弱了系統(tǒng)的抖振。仿真實驗結(jié)果驗證了該控制律的有效性和可行性。

［1］ 高為炳.變結(jié)構(gòu)控制的理論及設(shè)計方法［M］.北京：科學出版社，1996.

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Adaptive backstepping sliding mode controller design for robotic manipulator position tracking

XI Lei－ping1，ZHU Yi－ming2，LI Xiao－min1，ZHANG Hua－ying3
（1.Department of Optics and Electrics Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang Hebei 050003，China；2.Department of Energy and Power Engineering，North China Electric Power University，Beijing 102206，China；3.Zhongnuo Pharmaceutical（Shijiazhuang）Company Limited，CSPC，Shijiazhuang Hebei 050041，China）

A new method of adaptive backstepping sliding mode controller for robotic manipulator position tracking is introduced.The sliding surface is gained by using the position errors and velocity errors of robotic manipulator joints，and then the backstepping sliding mode controller is designed based on backstepping theory.Furthermore，an adaptive law is proposed to compensate automatically the external disturbance，so as to reduce the control system＇s sensitivity to disturbance and control the chattering effectively.At last，the system stability is proved by Lyapunov principle.The simulation result shows better performance.

robotic manipulator；backstepping sliding mode control；adaptive；chattering

TP273

A

1008－1542（2012）03－0253－05

2011－10－22；責任編輯：李 穆

軍隊重點實驗室建設(shè)項目；軍械工程學院校立基金資助項目（YJJXM11015）

席雷平（1979－），男，河北邯鄲人，講師，博士研究生，主要從事無人系統(tǒng)自主控制與導(dǎo)航方面的研究。