四階非局部邊值問題方程組正解的存在性

索秀云，郭少聰，張繼葉，郭彥平

（河北科技大學理學院，河北石家莊 050018）

四階非局部邊值問題方程組正解的存在性

索秀云，郭少聰，張繼葉，郭彥平

（河北科技大學理學院，河北石家莊 050018）

利用錐上的Krasnoselskii不動點定理研究了一類具有積分邊界條件的四階非局部微分方程組邊值問題正解的存在性。通過在Banach空間定義一個全連續的算子，得到了它至少存在1個正解的充分條件。

正解；非局部邊值問題；Krasnoselskii不動點定理

基于四階線性微分方程邊值問題在物理方面的背景，文獻［1］—文獻［7］分別用Leray－Schauder度理論、不動點定理、上下解的方法證明了四階方程解的存在性。

在文獻［1］中，作者主要研究了下列非局部邊值問題：

正解的存在性。受上述文章的啟發，筆者主要考慮下列非局部邊值問題方程組：正解的存在性。本文假設如下條件成立：

1 主要引理

引理2 （X，‖（u，v）‖2）是Banach空間。

證明 由文獻［1］中引理2.1知：（X1，‖u‖2），（X2，‖v‖2）都是Banach空間，故（X，‖（u，v）‖2）也是Banach空間。

引理3［5］假設A1），A2）成立，那么有

2 主要結論

設Kij，G2j，ρ2j，c2j，θj如第2部分所定義，下面介紹一些記法如下：

之一成立時，其中i＝1，2，則問題（1）至少存在1組正解。

由Krasnoselskii不動點定理ii）知，問題（1）至少存在1組正解。

［1］ BAI Z B.Positive solutions of some nonlocal fourth－order boundary value problem［J］.Applied Mathematics and Compution，2010，215：4 191－4 197.

［2］ BAI Z B.The method of lower and upper solution for a bending of an elastic beam equation［J］.J Math Anal Appl，2000，248：195－202.

［3］ BAI Z B.The method of lower and upper solution for some fourth－order boundary value problems［J］.Nonlinear Anal，2007，67：1 704－1 719.

［4］ FENG H Y，JI D H，GE W G.Existence and uniqueness of solutions for a fourth－order boundary value problem［J］.Nonlinear Anal，2009，70：3 561－3 566.

［5］ LI Y X.Positive solutions for nonlocal boundary value problems［J］.Nonlinear Anal，2003，54：1 069－1 078.

［6］ YAO Q L.Local existence of multiple positive solutions to a singular cantilever beam eqution［J］.J Math Anal Appl，2010，363：138－154.

［7］ ZHAO J F，GE W G.Positive solutions for a higher－order four－point boundary value problem with ap－Laplacian［J］.Comput Math Appl，2009，58：1 103－1 112.

Existence of positive solutions for nonlocal forth order boundary value problem systems

SUO Xiu－yun，GUO Shao－cong，ZHANG Ji－ye，GUO Yan－ping
（College of Sciences，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China）

By using Krasnoselskii fixed point theorem in a cone，the existence of positive solutions for nonlocal forth order boundary value problem systems with integral boundary conditions is studied.By defining a completely continuous operator in a Banach space，the sufficient condition under which the above problem has at least one positive solution is derived.

positive solution；nonlocal boundary value problem；Krasnoselskii fixed point theorem

O175.8

A

1008－1542（2012）03－0197－05

2011－10－10；責任編輯：張 軍

國家自然科學基金資助項目（10971045）；河北省自然科學基金資助項目（A2009000664）

索秀云（1954－），女，河北磁縣人，副教授，主要從事概率統計與應用微分方程方面的研究。