基于分數跳擴散過程的歐式雙向期權定價

胡素敏，周圣武

（1.河南城建學院數理系，河南平頂山 467036；2.中國礦業大學理學院，江蘇徐州 221008）

基于分數跳擴散過程的歐式雙向期權定價

胡素敏1，周圣武2

（1.河南城建學院數理系，河南平頂山 467036；2.中國礦業大學理學院，江蘇徐州 221008）

應用風險中性原理研究基于分數跳擴散過程的歐式雙向期權定價，推導出標的資產價格服從分數跳擴散過程的歐式看漲期權、看跌期權及歐式雙向期權的定價公式。

定價；歐式雙向期權；分數跳擴散過程

期權定價問題是金融數學和金融工程學研究的核心問題之一。在以往的期權定價中，人們普遍假設標的資產價格服從幾何布朗運動，它是連續的隨機過程，而在金融市場上，一些重要信息的出現會刺激股票價格發生不連續的跳躍，因此股票價格應包含連續擴散過程和不連續的跳躍過程。在幾何布朗運動下，資產價格變化是相互獨立的隨機變量，資產收益率服從正態分布。而近年來對股票市場的研究表明，股價變化不是隨機游走，而是呈現不同程度的長期相關性，分數布朗運動恰好具有這些優點［1］，因此用分數布朗運動刻畫資產價格的變化，更符合實際情況。

自引入分數布朗運動以來，國內外出現了大量的相關研究。NECULA研究了分數布朗運動環境下的期權定價［2］，ROGERS研究了分數布朗運動下的套期保值［3］，周圣武等研究了分數布朗運動環境下的冪期權定價［4］。筆者在以往研究的基礎上建立分數跳擴散下的股票模型，在此基礎上應用風險中性原理研究分數跳擴散過程的歐式雙向期權定價，推導了資產價格服從分數跳擴散過程的歐式看漲期權、看跌期權及歐式雙向期權定價公式。

1 股票價格的分數跳擴散行為

研究分數跳擴散過程下歐式雙向期權的定價問題，需要作如下假設。

H1）股票價格ST遵循Ito過程［5］：

式中：r是無風險利率；λ（λ＞0）是跳躍強度，表示1年中股票價格的平均跳躍次數；qt是一個強度為λ的Poisson計數過程；k＝E（U）；dqt是描述St發生跳躍的點過程，當股票價格發生跳躍時dqt＝1，否則dqt＝0。為分數布朗運動。應用Ito公式解隨機微分方程（1），可得股票價格的對數過程lnSt所滿足的常系數隨機微分方程：

解隨機微分方程（2），并應用Poisson過程的性質qT－qt＝qτ（τ＝T－t），可得T時刻股票價格ST的概率分布：

其中τ＝T－t，Un表示股票價格在第n個跳躍時刻tn的跳躍幅度，并假設U1，U2，…，Un是一列獨立同分布的隨機變量。應用全期望公式可得股票價格在T時刻的數學期望。為表述方便，將沿用MERTON的假設［6］。

H2）假設U，qt，Wt相互獨立，且1＋U服從對數正態分布，

而且由U，qt，Wt相互獨立，可知Z1，Z2也相互獨立。

由式（3）和式（5）以及正態分布的可加性可知，當qτ＝n時，存在標準正態隨機變量Zn～N（0，1），使得

2 無紅利支付的歐式雙向期權定價

歐式雙向期權是指期權持有者可以在未來某T時刻以規定的價格K買進或賣出某指定標的資產，且標的資產價格滿足隨機微分方程（1），由于在T時刻歐式雙向期權的權益為

即歐式雙向期權的終端收益可以分解為具有相同到期時刻和相同執行價格的同一種標的資產的一個買入期權的終端收益和一個賣出期權的終端收益之和。

在推導歐式雙向期權定價的過程中，需要用到下列基本假設［6－7］：1）標的股票價格服從跳擴散過程，且滿足隨機微分方程（1）；2）無風險利率r是常數；3）標的股票價格的波動率σ是常數；4）不存在交易費用；5）在期權的有效期內標的股票無紅利支付；6）不存在無風險套利機會。

根據風險中性定價原理，在風險中性概率測度Q下，標準歐式股票看漲期權在當前t（t＜T）時刻的價值為其中EQ表示在風險中性概率測度Q下的數學期望。

定理1 標的股票價格St服從分數跳擴散過程（1），執行價格為K的標準歐式看漲期權在t時刻的價值為

證明 在風險中性概率測度Q下，根據風險中性定價原理，應用全期望公式，可得歐式看漲期權在t時刻的價值為

定理2 標的股票價格St服從跳擴散模型（1）、執行價格為K的標準歐式看跌期權在t時刻的價值為

其中符號同定理1，證明過程與定理1類似（略）。

定理3 標的股票價格St服從分數跳擴散模型（1）、執行價格為K的歐式雙向期權在t時刻的價值為

［1］ 謝和平.分形應用中的數學基礎與方法［M］.北京：科學出版社，1997.

［2］ NECULA C.Option pricing in a fraction brownian motion environment［J］.Pures Mathematica，2002，2（1）：63－68.

［3］ ROGERS L C G.Arbitage with fractional Brownian motion［J］.Mathematical Finance，1997，7（1）：95－105.

［4］ 周圣武，劉海媛.分數布朗運動環境下的冪期權定價［J］.大學數學（College Mathematics），2009，25（5）：69－72.

［5］ 黃志遠.隨機分析學基礎［M］.北京：科學出版社，2001.

［6］ MERTON R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous［J］.Journal of Financial Economics，1976（3）：125－144.

［7］ BLACK F，SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of Political Economy，1973，81（3）：637－654.

［8］ 董躍武.歐式雙向期權的定價問題［J］.上海鐵道大學學報（Journal of Shanghai Tiedao University），1999，20（6）：71－73.

Pricing of European bi－direction option based on fractional jumping diffusion process

HU Su－min1，ZHOU Sheng－wu2
（1.Department of Physics and Mathematics，Henan Univesity of University Construction，Pingdingshan Henan 467036，China；2.College of Sciences，China University of Mining and Technology，Xuzhou Jiangsu 221008，China）

The pricing of European bi－direction option when the underlying assets follows fractional jump diffusion is mainly studied.By using the risk neutral valuation principle，the pricing formula of standard European call option，put option and European bi－direction option are obtained when the underlying stock price is depicted by fractional jump diffusion process.

pricing；bi－direction european option；fractional jumping diffusion process

O211.6

A

1008－1542（2012）03－0207－03

2012－02－05；責任編輯：張 軍

國家自然科學基金資助項目（70701017）；河南省科技計劃資助項目（112400450212）；河南省教育廳自然科學研究資助項目（2011A110002）

胡素敏（1982－），女，安徽宿州人，碩士研究生，主要從事金融數學方面的研究。