多傳感器系統估計的穩健切比雪夫中心估計融合*

屈小媚

(西南民族大學計算機科學與技術學院，四川成都610041)

0 引言

多傳感器信息融合是將來自多信息源的數據和信息加以智能化的合成，產生比單一傳感器更精確、更完整、更可靠的描述和判斷，是一個涉及信息科學、計算機科學、自動化科學的復合型學科。它的結構模型主要有4種形式:分布式、中心式、混合式和分級式。這4種結構的信息融合的理論研究均已取得了很大進展。

文獻［1～3］針對多傳感器數據的融合問題進行了研究，這些研究基于一個重要假設，即多傳感器信息融合的數學模型是精確知道的。然而，在實際應用中，不論軍事還是民用方面，多傳感器信息融合的數學模型常常是不準確的。在多傳感器分布式系統中，當觀測噪聲范數有界的情況下，如何得到系統參數估計的穩健估計融合是多傳感器信息融合領域中一個受到廣泛關注的研究方向［4～8］。解決這類問題的常用方法是最小二乘法［4］，即求使得估計誤差的范數最小的參數估計，其中范數取歐幾里德范數。最小二乘在本質上是確定性的方法，因為并未對各變量假設任何統計性質。當一些統計信息(比如觀測噪聲的方差)已知，可以用加權最小二乘。但當出現異常值時，現有的許多估計方法表現出不穩健的現象，模型的解不一定是在估計絕對誤差意義下最好的估計。特別是當觀測矩陣是病態的時候，可能得到很差的估計。雖然很多方法試圖尋找有偏且是更接近真實參數z的估計，但是都不一定能使得估計的絕對誤差小，參見文獻［5～7］。

本文的主要策略是:首先描述出未知參數z的可行集合，為線性系統的所有可行解，命名為可行參數集(feasible parameter set，FPS)。然后選擇FPS的一個使得估計絕對誤差穩健的中心來作為融合的估計，即切比雪夫中心。

然而，一般情況下，求一個凸集的切比雪夫中心是一個很難的問題，核心的困難在于里層的極大問題非凸。對于這個問題，文獻［8］提出了一個松弛的切比雪夫中心方法。本文的主要目的在于建立另外一種策略來求解FPS的切比雪夫中心。雖然這個問題在一般情況下很難，但是有2個例外情況［9，10］:一是 FPS是多面體，且包含 FPS的球是l∞范數下的球;二是FPS是有限集。本文主要利用后面一種情況，因為可以證明:在二維情況下，即z∈R2時，FPS的切比雪夫中心等價于有限個特殊點的切比雪夫中心。在高維情況下，近似的切比雪夫中心則通過投影到二維平面的方法得到。

1 多傳感器系統估計的穩健切比雪夫中心融合

考慮如下的多傳感器系統中確定性參數z的參數估計問題

其中，Ai是已知的矩陣，wi是范數有界的噪聲。為了得到使得估計絕對誤差小且穩健的估計融合，首先描述出未知參數z的可行集合，為線性系統的所有可行解，命名FPS

式中 ρi為噪聲wi的范數的上界。

可行參數集的切比雪夫中心可以通過如下的minimax優化問題定義

切比雪夫中心的幾何意義是包含集合FPS的最小球(圓)的中心，即使得FPS上的最壞情況下的估計誤差最好的點。本質上來說，這是一個優化問題，目標函數為估計的絕對誤差，而非數據誤差。

2 二維切比雪夫中心估計融合的求解

為了得到參數在最壞估計誤差最好意義下的穩健估計，需要求解FPS(1)的切比雪夫中心。圖1是2個橢圓的交集的切比雪夫中心的一個例子，其中虛線的圓是最小的包含實線橢圓的交集的圓。

松弛的切比雪夫中心方法是首先將內層的非凸極大問題松弛為對偶問題，再解對應的凸優化問題。關于松弛切比雪夫中心(RCC)方法的細節可參考文獻［8］。這種方法得到的切比雪夫中心不是嚴格的切比雪夫中心。下面的定理1給出在二維情況下，FPS的切比雪夫中心等價于幾個特殊點的切比雪夫中心:

定理1 設E1和E2為二維平面上的2個相交橢圓，Xi(i=1，2，3，4)為交點。如果E1和E2的相交區域包含k個長軸上的頂點，記為Dj(j=1，…，k)，那么，E1和 E2的相交區域的切比雪夫中心與集合 Xi(i=1，2，3，4)∪Dj(j=1，…，k)的切比雪夫中心是等價的。

圖1 兩個橢圓交集的切比雪夫中心Fig 1 Chebyshev center of the intersection of two ellipses

3 高維近似切比雪夫中心的算法

式中 A+i為矩陣Ai的廣義逆。并且，每一個投影FPSk，l(k≠l)都是非空的，因為它至少包含一個內點，即真實參數 z的投影 zk，l。所以，FPSk，l僅僅表示的是二維平面上橢圓的交，FPSk，l的切比雪夫中心可以通過定理1求得，記為^zk，l，對應的半徑記為 ^rk，l。

取高維情況的ACC為式中zk=zk，lk，使得

這樣選取ACC的原因是，FPS在各個坐標平面的投影的切比雪夫中心反映了投影的中心位置，即在該平面最小的最壞情況的估計誤差，因此，ACC選取對應的每一維上的最小的最壞情況的估計誤差。

算法1高維情況下求ACC的算法

1)令z=0n，k=1，l=2，將 FPS 表示為式(3)的形式;

2)按照式(4)表示出FPS的投影FPSk，l;

3)計算出FPSk，l里面橢圓的交點，并選出包含在橢圓的交里的長軸頂點，記這些點的集合為Xk，l;

4)求解下面的凸優化問題

若 l≤n-1，令 l=l+1，回到步驟(2)，否則，若 k＜n-1，令 k=k+1，l=k+1，回到步驟(2);

5)按照式(5)計算zACC。

ACC融合算法的計算復雜度集中在步驟(4)上，需要求解一個二次約束的線性規劃。因此，將原始的非凸優化問題式(2)近似成n(n-1)/2個凸優化問題，其中的每一個都可以高效的求解。所以，在未知參數z的維數不是很高的情況下，這里建議用ACC融合估計方法。

4 數值例子

下面通過模擬例子來比較ACC融合估計方法，RCC融合估計方法以及最小二乘方法。

例1 考慮一個未知參數為二維的兩傳感器的例子，真實參數z=［1，1］'，各傳感器的觀測由下面的線性模型產生

其中，矩陣Ai∈R5×2的各個元素均由均勻分布隨機產生，觀測噪聲wi的各個分量服從標準正態分布，觀測噪聲的范數的上界選為 ρ‖σwi‖2，ρ=5。表1為隨機采樣100次后得到的平均融合估計誤差的平方‖z-z‖2(z是zRCC，zACC或者 zLS)。

表1的結果說明:ACC融合估計方法的平均估計誤差要低于RCC方法，并且LS估計方法的平均估計誤差最大。這是因為在二維情況下，ACC融合方法是精確的FPS的切比雪夫中心，RCC是松弛的切比雪夫中心。而ACC和RCC都是關于優化估計性能的方法，LS則是基于最小數據誤差得到的估計，因此，LS估計方法的平均估計誤差是最大的。

表1 三種融合方法的估計誤差的比較Tab 1 Comparison of estimation error of the three fusion methods

例2 考慮未知參數是三維的情況，即 z=［111］'。2只傳感器的觀測也由線性模型產生，Ai∈R7×3，其他參數與上面的例子相同。表2為該模型隨機采樣100次后得到的平均融合估計誤差的平方‖z-z‖(z是 zRCC，zACC或者zLS)。

表2 三種融合方法的估計誤差的比較Tab 2 Comparison of estimation error of the three fusion methods

通過表2的結果可以得出:盡管ACC和RCC分別為FPS近似的切比雪夫中心估計融合和FPS松弛的切比雪夫中心估計融合，但從平均估計誤差來看，ACC方法要優于RCC方法。

5 結論

本文主要針對多傳感器參數估計的融合問題，基于穩健融合的策略，將未知參數的所有可行點作為估計范圍，然后選取它的切比雪夫中心作為估計的融合。然而，求解一個集合的切比雪夫中心是一個非常困難的問題。本文首先證明了在二維情況下，切比雪夫中心可以精確求解。對于高維情況，采取投影到各坐標平面再融合的方法，得到一個近似的切比雪夫中心作為多傳感器估計的融合。數值模擬的結果說明:在多傳感器估計融合問題中，提出的ACC融合方法優于已有的RCC融合方法。

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