由一堂平面向量課所引發的思考

● (諸暨中學 浙江諸暨 311800)

由一堂平面向量課所引發的思考

●俞建鋒(諸暨中學 浙江諸暨 311800)

教學活動具有復雜性和多變性，因此精心的預設是上好一節課的基礎．認真鉆研教材，全面了解學生，有效開發資源是預設的重點．但在實施課堂教學的過程中，教師如何處理“預設”與“生成”的關系，直接關系到學生的學習效果.本文結合筆者的一個教學案例,對如何處理“預設”與“生成”的關系談幾點看法．

1 一道例題的2種教學生成

以下是筆者的一次課堂教學經歷：同一道例題，教師具體講授于甲、乙2個不同班級(平行班).雖然是基于同一預設的一道習題的教學，其教學過程卻“意外”地顯著不同.

甲班的教學片段：

師：證明正三角形的方法有哪些？

生(齊聲)：3條邊相等或3個角相等.

師：用向量如何刻畫呢？

生A：利用|a|=|b|=|c|即可.

生B：或許可以利用∠A=∠B=∠C,因為a·b=|a|·|b|cosθ(θ為a,b的夾角)中也有角.

師：好！下面我們來試試.

(學生說,筆者板書.)

圖1

證法1如圖1，可得

a+b+c=0.

又因為

a·b=b·c,

所以

a·b-b·c=b·(a-c)=0,

即 (-a-c)·(a-c)=0,

亦即

(a+c)·(a-c)=0,

從而

a2-c2=0,

即

|a|2=|c|2,

亦即

|a|=|c|.

同理可得

|b|=|c|,|a|=|b|,

從而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

筆者小結:解決本題的關鍵是利用a+b+c=0得到b=-a-c,又由a·b=b·c得到b·(a-c)=0,綜合得到結論.

至此,僅用7分鐘時間便完成了該例題的講授,筆者認為目的已經達到,教學繼續進行,按預先的教案講解例2～例5,按部就班直至下課.

乙班的教學片段:

和甲班類似,當筆者提問完“用向量如何刻畫呢？”，學生這樣回答：

生A：構造直角三角形，利用斜邊上中線的性質.

生B：利用|a|=|b|=|c|.

師：請生A、生B在黑板上板演,其他學生在下面思考.

生A板演：

證法2因為a+b+c=0,

所以

a·a=(b+c)·(b+c),

從而 |a|2=|b|2+|c|2+2b·c,

(1)

同理可得

|b|2=|a|2+|c|2+2a·c,

(2)

式(1)-式(2)得

|a|2-|b|2|=|b|2-|a|2+2(b·c-a·c).

又因為

a·b=b·c=a·c,

所以

|a|2-|b|2=|b|2-|a|2,

即

|a|2=|b|2,

亦即

|a|=|b|.

同理可得

|b|=|c|,|a|=|c|，

從而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

生B板演：

證法3因為a·b=b·c=a·c,

所以

a·b-b·c=b·(a-c)=0,

從而

b⊥(a-c).

圖2

又因為|AC|=|AD|,所以AB是DC邊上的中線,因此

|AB|=|AC|=|AD|,

即

|a|=|c|.

同理可得

a⊥(b-c),

進而

|b|=|c|,

從而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

筆者講評：學生A抓住了|a|2=|b|2+|c|2+2b·c,該式好似解題的一個“中轉站”,起到了紐帶的作用(學生欣喜).學生B構造直角三角形,并利用斜邊上的中線這一想法，恰倒好處.

至此,本例的教學似乎應該結束,而且課堂用時超過21分鐘(較甲班多了14分鐘).筆者不經意地發問”有不同解法嗎?”這一問又激起了學生思維的浪花.

生C:我利用幾何法做的,利用菱形對角線垂直的性質.

筆者放棄原先準備的教案，讓學生繼續交流.

師:請學生C到黑板上展示自己的過程,其他學生自己思考.

(此時教室內一篇寂靜,大家已不滿足于一種解法.)

學生C的板演:

圖3

所以四邊形ABCD為菱形,從而

|AB|=|AC|,

即

|a|=|c|.

同理可得|a|=|b|,|b|=|c|,

從而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

師：學生C的解法可以說是另辟蹊徑,妙不可言.還有不同的方法嗎?

筆者話音剛落,學生E便回答自己是利用a+b+c=0得到b=-a-c,又由a·b=b·c,得到b·(a-c)=0,綜合得到結論.(這可是教師完成“教案劇”千呼萬喚的方法！)

學生E已顯得迫不及待：

證法5由于a+b+c=0，所以

a·b=(b+c)·(a+c)=

a·b+a·c+c·b+c·c2,

從而

c2=-(a·c+b·c),

同理可得

a2=-(a·b+a·c)，b2=-(b·a+b·c).

因為

a·b=b·c=a·c,

所以

|a|2=|b|2=|c|2,

即

|a|=|b|=|c|.

師：巧妙地利用了a+b+c=0，不易想到，也不失為一種好思路.

下課鈴聲響了,還有學生在不斷地思考……

新課堂是活動的課堂，討論、合作、交流的課堂，它呼喚著學生的積極參與，因此，教師要善于把握時機，創設問題情景，激發學生潛能，要善于將“球”踢給學生，引導學生去質疑、發現和探索.教師要相信青年學子的潛能是不可估量的，要改變教師的角色.教師要悄然“換崗”，變傳授者為引導者、組織者、合作者；學生要自然“上崗”，變被動聽為主動探求.只有充分地體現出學生的主體性、主動性，教師的主導作用才能得到充分發揮．

2 對教學預設與課堂生成的思考

同一個例題的教學過程相差如此之大,著實發人深思,這是一場“教案劇”.教師是“強迫”學生按照課前的預設學習，還是增強“隨意性”，盡量按照學生的認知情況生成？該如何處理“預設”與“生成”的關系呢?

(1)教學預設要給學生留有足夠的自由思考的空間.

探究學習具有自主性、過程性、實踐性、開放性等基本特征[1]，因而探究教學更加重視學生的主體地位，教學的重心不是教師的教，而應當是學生的學.在課堂情境下，學生通過討論、質疑、交流、反思、探究等認知和實踐活動，會產生很多非預設的問題，探究的方向、方式、過程等也會與教師的預設大相徑庭．這就需要教師靈活處理預設與生成的關系，充分關注學生課堂生成的特點，給學生的探究保留足夠的自由空間，順勢而為，動態調整，使教學預設隨著課堂進程不斷改變和重建，保證個體知識的自主建構和逐步完善．本文所述的案例中，在甲班，教師“及時地”中斷了學生的不同想法，強硬地執行了課前的預設，牽著學生向前走，貌似很節省時間，也完成了所謂的“任務”，但是和乙班的情況相比，思維的積極性、思考問題的靈活性、解決問題的能力諸方面都是無法比擬的．可見，在教學預設時，要給學生的自主思考留有足夠的空間，否則，學生的主體地位無法真正體現.

(2)課堂生成與課前預設的不一致正是激發學生創新思維的起點.

“生成”對應于“預設”.盡管在課前的設計，教師對學生可能出現的一些情況做了設想，然而面對的學生是千變萬化的，他們的真實水平往往無法準確估計，更多時候與預設有差異甚至截然不同.當教學不再按預設展開，這就需要教師冷靜思考，巧妙捕捉其中的亮點資源，并靈活地調整教學方法，機智生成新的教學方案.筆者在甲班的教學實施過程中，對學生回答的不同想法沒有重視，而是盡可能將學生的思路拉回到教師預設的軌道上來，生硬地執行了課前預設的思路．但乙班的情況表明，當學生的思考與教學設計不一致時，就是激發學生創新思維的好時機．

蘇霍姆林斯基曾描述這樣的課堂：“有些教師能夠做到使他的每一位學生在課堂上都取得進步.……在這里,充滿著……師生間相互體諒的氣氛,有一種智力受到鼓舞的精神,每一位學生都在盡量靠自己的努力去達到目的.你從兒童的眼光里就能看那種緊張地、專心致志地思考的神色:一會兒發出快樂的閃光(正確答案找到了!)一會兒又在深沉地思索(從哪里入手來解決這道應用題呢?)教師在這樣的氣氛里工作是一種很大的享受.”[2]這也是教師心目中所希望出現的數學課堂情形!通過2節課的對比，不難看出，乙班學生的“好想法”層出不窮，而這種情形正是教師恰當處理預設與生成的關系、及時抓住激發學生創新思維的好時機，使得教學過程向著理想課堂的方向發展.

(3)預設是為了生成，而生成是動態的.

教學目標的綜合性決定了師生活動的多樣性和教學環境的復雜性.教師必須把開發學生潛能作為教學最重要的任務,必須意識到學習是不可重復的,是激情與智慧的綜合生成過程.因此,教師應根據課堂教學的“預設”,給學生騰出空間,讓學生在共同探究中享受“生成”.前文所述的案例中，筆者在甲班教學時，生硬地將教學生成變成了課前預設的固定結論，而在乙班的生成過程是動態的、不斷調整的，2個班學生的收益有著明顯的差異.

教師在備課進行教學預設時,就應當多角度考慮問題的各種可能性,這樣教師在面對學生的不同想法時，能更迅速地形成教學設想，從而保證在實施過程中根據教學的進程,不斷調整自己的教學行為.當然，學生的想法教師課前未必想到，因此，教師充分采納學生的想法，實際的課堂生成就未必是教師提前預設的情境.換言之，教學生就變成了一個動態的過程，這樣新課改數學教育所期待的“走向未知”的“后現代教育觀”與“對話課堂觀”的動人景象就一定會出現!

[1] 貝爾.中學數學教育學[M].許振聲，譯.北京：教育科學出版社，1988：125.

[2] 蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].杜殿坤,譯.北京:教育科學出版社,1984：76.