問題變式 彰顯魅力
——對2012年湖州市中考壓軸題的問題變式探索與思考

● (雙林第二中學 浙江湖州 313012)

問題變式彰顯魅力——對2012年湖州市中考壓軸題的問題變式探索與思考

●姜曉翔(雙林第二中學 浙江湖州 313012)

波利亞認為解題的重要技巧是從各個方面、各個側面去試驗、變化或轉化問題.他指出：“變化問題使我們引進了新的內容，從而產生了新的接觸，產生了和我們問題有關元素接觸的、新的可能性.”我們知道，問題變式是探究學習的向導，中考壓軸題往往都已經具備了基本要素.如果我們能利用好這些基本要素，將它們作為問題變式的出發點，設計出各種不同類型的問題，那么就能讓一道高質量的中考壓軸題更能適合于平時不同階段的教學，彰顯其魅力.以下筆者就一道2012年湖州市中考壓軸題為例，談談有關問題變式方面的一些看法，意在拋磚引玉.

1 情境描述

1.1 原題呈現

圖1

圖2

(1)求這條拋物線的函數解析式.

①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

②聯結FC，以點F為旋轉中心，將△FEC按順時針方向旋轉180°得△FE′C′.當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中(包括邊界)時，求t的取值范圍(寫出答案即可).

(2012年浙江省湖州市中考數學試題)

1.2 試題核心特色

本題表述簡潔，梯度合理，設問巧妙，立意高遠，綜合性很強，是一道非常好的壓軸題.對學生的能力要求較高，考點覆蓋面較寬，涉及初中數學的核心知識：二次函數的解析式、二次函數的圖像與直線的交點、平移變換、直角坐標系中的旋轉變換、相似三角形的判定和性質.考查的數學思想方法有數形結合、分類討論、轉化方程等，在解題中運用了平移、旋轉、相似變換，體現了變換思想的作用.本題突出對能力立意和數學思維的考查，追求理性創新，將基礎性、綜合性有機結合，很好地發揮了壓軸題的作用.

1.3 詳細解答過程

解得

因此

y=-x2+3.

即

∠C=60°,∠CBE=30°,

從而

又因為AD∥BC，所以

∠ADC+∠C=180°，

從而 ∠ADC=180°-∠C=180°-60°=120°.

要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個角為直角.

(ⅰ)若∠ADF=90°，則

∠EDF=120°-90°=30°.

EF=1，DF=2.

因為E(t,3),F(t,-t2+3),所以

EF=3-(-t2+3)=t2,

從而

t2=1.

又因為t>0,所以t=1.此時

從而

又

∠ADF=∠DEF,

因此

△ADF∽△DEF.

(ⅱ)若∠DFA=90°,可證得△DEF∽△FBA，則

設EF=m，則FB=3-m，故

即

m2-3m+6=0，

此方程無實數根，此時t不存在.

(ⅲ)由題意，∠DAF<∠DAB=60°，因此

∠DAF≠90°，

此時t不存在.

綜上所述，存在t=1，使得△ADF與△DEF相似.

2 問題變式與分析

數學家波利亞非常重視解題后的思考，把其作為數學解題的一個重要步驟.筆者認為，如果能把原題本身的基本要素盡可能多地發掘出來，作為問題變式的出發點，就能對原題進行適當的問題變式.平時，在教學過程中也可以對某些重要的例、習題進行適當的問題變式，從而培養學生的解題能力和創新思維.

2.1 有關直角三角形或等腰三角形的問題變式

變式1在第(2)小題的條件下，問：是否存在這樣的t，使△ADF是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

分析在動態幾何問題中，有關判定直角三角形或等腰三角形的問題往往都需要分類討論，這是近幾年中考的熱點問題之一.變式1需要通過分類討論△ADF的3個內角分別等于90°即可.該問題變式雖然實質和原題一樣，但其實降低了難度.原題是在滿足△ADF是直角三角形的基礎之上，還要去驗證所求出的t是否能讓△ADF與△DEF相似，而變式1的設計可以面向更多的學生，起到擴大參與面的作用.

解答與原題類似.

2.2 有關三角形相似的問題變式

分析動點形成的三角形相似問題一直是近幾年中考的熱點之一.由原題中△ADF與△DEF的相似情況得到啟發，筆者通過對圖形的深入研究，發現圖2中有4個三角形，而在菱形ABCD向右平移的過程中，除了原題中提到的2個三角形有可能相似外，其余的三角形也有可能相似.原題得到的結果只有一個“t=1”，是否能得出不止一個答案的相似呢，基于以上考慮，筆者得到了變式2的設計思路.由于△BEC與△DEF都已確定是直角三角形，因此，在考慮相似時只需考慮2種對應情況即可.

解當△BEC∽△DEF時，

即

從而

t2=1.

因為t>0,所以t=1.

當△BEC∽△FED時，

即

從而

t2=3.

2.3 有關面積求函數解析式的問題變式

分析因動點產生的面積問題一直是中考中不可或缺的題型，而且往往與函數解析式相結合.因此，應該讓學生加強這方面的訓練，培養解決綜合問題的能力.通過筆者的觀察，原題中已經具備了設計有關面積求函數解析式問題的基本要素，于是就設計出了變式3.通過觀察，四邊形ABFD不是特殊四邊形，因此不能直接去求，可以采用分塊法或割補法來解決.

解因為E(t,3),F(t,-t2+3,)，所以

S=S梯形ABED-S△DEF=

分析原題的圖2中有4個三角形，在菱形ABCD向右平移的過程中，△DEF，△ABF和△ADF是動態的，只有△BEC是靜態的.而對于這3個動態三角形，都能設計成求面積問題.進一步研究發現，△DEF和△ABF雖然都是動態的，但是卻只有一個元素在發生變化，因此求面積相對比較簡單，而△ADF有所不同，主要表現在它的底和寬不是縱向與橫向的，因此求面積會有一定的難度.于是筆者設計了變式4，對于這樣的三角形，求面積的最好方法還是割補法.

解S=S梯形ABED-S△ABF-S△DEF=

2.4 有關函數圖像交點的問題變式

分析在初中階段，培養學生的數形結合思想對今后學習十分重要.筆者聯想到函數圖像的交點與方程組的聯系，即直線與拋物線的交點，可以通過研究對應的方程組來解決，而交點個數由一元二次方程根的判別式來決定，于是就得到了變式5的設計思路.從t=0(如圖3)這一刻起，拋物線就與菱形ABCD的3條邊AB,BC,CD各有一個交點，與邊AD沒有交點，因此總共有3個交點，正好滿足條件.然而隨著菱形ABCD的向右平移，直到邊AD與拋物線出現一個交點(相切)為止(如圖4)，這一過程中拋物線y=ax2+b與菱形ABCD的邊一直有3個交點，而之后就出現第4個、第5個交點了(如圖5)，直到最后，又出現3個交點的情形(如圖6).

圖3

圖4

圖5

圖6

解先求得t=0時，直線AD的解析式為

經過t秒后的解析式為

所以

得

當直線與拋物線只有一個交點時，

解得

變式6設菱形ABCD平移的時間為t秒(t≥0)，試討論拋物線y=ax2+b與菱形ABCD的邊的交點情況及相應t的取值范圍.

圖7

圖8

解由變式5可知：

3 對于以上問題變式的幾點思考

3.1 問題變式可以增強學生數學學習的遷移能力

數學學習的遷移是指一種學習對另一種學習的影響.學習的遷移現象在數學學習中是廣泛存在的.如：加法的學習影響乘法的學習，有理數的學習影響代數式的學習，代數式的學習又影響函數的學習等.不僅如此，在數學知識、技能和能力之間也存在這種遷移現象.如：隨著數學學習的深入，學生會逐漸把方程知識、不等式知識和函數知識有機地聯系起來，形成合理的知識組塊.以上問題變式就可以幫助學生把函數圖像交點與方程組及一元二次方程根的判別式有機地聯系起來等，完美地呈現該題魅力之所在.

3.2 問題變式可培養學生的數學思想，數學思想內化就成了數學觀念

從以上對一道中考壓軸題的多種問題變式可以看到，其中用到了很多數學思想，如：數形結合思想，分類討論思想，方程、函數思想，轉化思想，變換思想等等.所謂數學觀念，通俗一點講就是數學頭腦和數學意識，或者說是數學思考的習慣，它是由數學思想內化來的.數學觀念作為數學思維的高級層次，它對數學思維有一種定向、控制和調節的監控功能.《新課標》反復強調要培養學生的幾何觀，若能將中考壓軸題通過適當的問題變式之后，用于平時不同階段的教學，則可以更好地培養學生的幾何觀，彰顯中考壓軸題的魅力所在.

3.3 問題變式可以使學生達到對知識的深層次理解

對知識形成深層次理解，這是建構性學習和教學的核心目標，建構主義的許多主張都與此相關.在如何判斷學習者對知識的理解深度標準中，其中有一條就是能否解決問題變式.隨著問題變式的不斷深入，學生逐漸形成了對知識的深層次理解，逐漸建立起整合的、結構化的、靈活的、屬于自己的知識經驗體系，從而使思維和探究能力得到發展.

總之，教師應該把中考壓軸題本身的基本要素盡可能多地發掘出來，作為問題變式的出發點，就能對原題進行適當的問題變式和拓展延伸，為平時的教學所用，這樣才能彰顯其更加強大的魅力.

[1] 曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M]．北京：北京師范大學出版社，2007.

[2] 波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：北京科學出版社，1982.

[3] 桂文通.借鑒與創新——一道中考壓軸題的命制[J].中學數學教學參考：中旬，2012(4)：57．