數形結合速解離心率取值范圍問題

● (溫州市第二中學 浙江溫州 325000)

數形結合速解離心率取值范圍問題

●李芳奇(溫州市第二中學 浙江溫州 325000)

0 引言

著名數學家拉格朗日曾經說過：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄．但當這2門科學結合成伴侶時，它們就互相吸收新鮮的活力，從而以快捷的步伐走向完美．”《浙江省普通高考考試說明》在對創新意識的考查中明確指出：在考試中要有反映數、形運動變化的試題．在高三復習教學中，有很多求圓錐曲線離心率取值范圍的問題，其中求離心率的值、求取值范圍的問題由于涉及到不等式與函數等綜合知識，方法靈活多變，難度相對較大．解決這類問題，可以通過代數分析運算得出，可謂是通法，然而對于學困生甚至中等生，在處理過程中往往會顧此失彼，造成丟分．離心率具有明確的幾何意義，如果由“數”到“形”加以轉化，解題的過程相對會便捷很多，能大大地提高解題速度和正確率．那么，如何通過數形結合來巧解離心率取值范圍的問題呢？這就需要我們認真分析題目，從題目中發現問題的本質，通過臨界情況的控制求解．

1 典型例題解讀

1.1 以漸近線為臨界位置的變化

漸近線控制著雙曲線的形狀，而雙曲線的形狀又與離心率相關，因此與雙曲線離心率有關的問題，可以考慮漸近線的位置．

例1已知雙曲線mx2-y2=1(m>0)的右頂點為A，若該雙曲線右支上存在點B,C使得△ABC為等腰直角三角形(如圖1)，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________.

(2011年溫州市高三數學第一次適應性測試理科試題)

圖1

圖2

解法1根據雙曲線的對稱性，可知A為△ABC的直角頂點，要求雙曲線右支上存在點B,C使得△ABC為等腰直角三角形，則過點A作傾斜角為45°的直線與雙曲線的交點即為點B.由

得

因為

且

所以

得

0

從而

e2=1+m∈(1,2),

得

點評解法1根據直線與雙曲線的位置關系，聯立并采用韋達定理求根，通過根的范圍加以限制，進而求出m的取值范圍．而解法2是對雙曲線漸近線加以控制，無需聯立求根，雖然對思維的要求相對要高一些，但運算量很小，經過這樣的訓練后，學生也較容易掌握．

(浙江省東陽中學2012屆高三10月階段性數學考試理科試題)

得

點評根據例1的啟發，研究雙曲線的漸近線可控制雙曲線的形狀．此題需注意右焦點F的對稱點在y軸，則直線OP方程為y=x，不存在點P，即直線與雙曲線無交點．看似繁難的問題，實則解答步驟很簡捷．在答題時應注意分析題意，抓住解決問題的關鍵點．

1.2 角度、長度的變化控制

圖3

解法1設|PF1|=m,|PF2|=n，由橢圓第一定義知，m+n=2a．由余弦定理可得

4c2=m2+n2-2mncos120°,

于是

(m+n)2-mn=4c2,

從而

得

3a2≤4c2，

即

解法2由直觀經驗可知，當點P在短軸端點A處時，∠F1PF2最大(過程可以證明，思路參照解法1，設|PF1|=m,|PF2|=n，根據余弦定理的變形公式

可知當且僅當m=n時，∠F1PF2最大)．橢圓上恒存在一點P，使得∠F1PF2=120°，則∠F1AO≥60°，即

于是

即

點評解法1根據橢圓的第一定義，采用基本不等式求取值范圍，過程嚴謹而周密．解法2由直觀經驗可知，在短軸端點處取到最值，而當P從點A移動到點B時，∠F1PF2越來越小.大量的解題經驗和扎實的基礎知識會使我們在解題過程中產生直覺思維，直覺思維的產生需要細致入微的觀察力，它幫助我們尋找到解題的最快途徑．但直觀經驗有可能得出錯誤的結論，與嚴密的推理相結合才能相得益彰．例3的變式題由于∠F1PF2=90°，可以通過作圓快速求解．

圖4

(2010年四川省數學高考理科試題)

解由題意得

且

a-c<|PF|≤a+c，

因此

得

a2-ac-2c2≤0,

從而

2e2+e-1≥0,

于是

點評充分挖掘題目中的幾何性質，緊抓橢圓中線段長度的有界性，摒棄繁瑣的代數運算．求離心率的取值范圍的問題，要保留a,c這2個基本量．

2 精題集萃

2．斜率為2的直線過中心在原點且焦點在x軸上雙曲線的右焦點，與雙曲線的2個交點分別在左右兩支上，求雙曲線離心率的取值范圍．

參考答案

[1] 王曉青.用運動觀點探求圓錐曲線離心率的取值范圍[J].中國數學教育，2011(6):40-41.

[2] 武增明.走進圓錐曲線離心率的取值范圍的思維途徑[J].中學數學,2009(11):3-5.