一道2012年大綱全國卷高考試題的推廣

● (華南師范大學數學科學學院 廣東廣州 510631)

一道2012年大綱全國卷高考試題的推廣

●李海梅(華南師范大學數學科學學院 廣東廣州 510631)

2012年數學高考大綱全國卷理科第12題很有趣，與平時的打桌球游戲非常類似，題目如下：

( )

A.16 B.14 C.12 D.10

本題主要考查反射原理與三角形相似原理的應用，同時考查綜合運用數學知識進行推理論證的能力.

參考答案：結合已知點E，F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系作圖，可以得到回到點E時，需要碰撞14次.

圖1

圖2

圖3

用幾何畫板作圖，如圖1所示，從圖1中可以看出，僅用尺規作圖過程相當繁瑣，一招不慎，滿圖皆亂，而且無法推廣到一般的情形.

本文借助于物理中的光學知識，把點P的運動軌跡由折線化為直線，給出下文的解法并推廣到一般的情形.根據入射角與反射角相等法則，光線走向(直線)按反射面(直線)翻折后與反射前光線走向(直線)應該是一條直線[1].圖2所示為光線在正方形ABCD內的行進，圖3所示為正方形ABCD的邊按對稱翻折后所作成的平面圖形，可以把光線看成是直線行進的.因為點P每與正方形的邊碰撞一次就會引起一次翻折，故由翻折的次數，可推出碰撞的次數.

解點P的運動可以看成光線在正方形ABCD內的行進.作出正方形的邊按對稱翻折后所作成的平面圖形，如圖4所示，可以把點P的運動看成是沿射線EF運動的.現證當點P運動到點G處時，點P第一次碰到點E，由圖4可知，只需證AE=A′G即可.

圖4

圖5

對于一般的情形，經過筆者研究，可得出以下結論：

參考以上解法，可作如下證明.

因為(n，k)=1，所以(n-k，k)=1.又因為EI,GI皆為偶數，所以t必為偶數,令t=2i(i∈N*).當i=1時，即為點P第一次碰到點E,此時EI=2(n-k)，GI=2k，可得正方形ABCD向右翻折了2(n-k)次，向上翻折了2k-1次，故當點P第一次碰到點E時，點P與正方形的邊碰撞了2n次.由對稱性可知，分別與AB,CD碰撞了k次，分別與BC,AD碰撞了n-k次.

本文把原題的條件推廣到了一般的情況，那么當AE與BF不相等的情況呢？當點P以任意的角度從點A出發，小球是否會回到點A？這些有趣的情況就留給讀者去探究吧.

[1] 茍玉德.一道數學高考題的物理解法及啟示[J].數學教學,2003(11):48-49.