2012年安徽省數學高考理科壓軸題的探究

● (碭山中學 安徽碭山 235300)

2012年安徽省數學高考理科壓軸題的探究

●胡云浩(碭山中學 安徽碭山 235300)

1 試題探究

(1)證明：{xn}是單調遞減數列的充分必要條件是c<0；

(2)求c的取值范圍，使數列{xn}是單調遞增數列.

(2012年安徽省數學高考理科試題)

這道安徽省的高考壓軸題考查了函數、數列、不等式等有關知識，綜合性大、技巧性強、內蘊深厚，是一道既考知識又考能力的好試題.本題的2個小題一證一求，都與數列單調性的充要條件有關.對于考查數列單調性的問題，近年來的高考試題與競賽題多有出現，而目前流行的解法都是就題論題，沒有給出通法.本文將從函數的觀點來揭示此類問題的命制思路，并給出求解通法.

為行文方便，約定：若數列{an}由初始值a1與遞推式an+1=f(an)給出，則稱函數y=f(x)為數列{an}的“原函數”.

定理1已知數列{an}的“原函數”y=f(x)在區間A上為增函數，an∈A.如果f(x)>x，f(x)=x，f(x)

(1){an}為遞增數列的充分必要條件是an∈A1；

(2){an}為常數數列的充分必要條件是an∈A0；

(3){an}為遞減數列的充分必要條件是an∈A2.

結論較淺顯，請讀者自行證明.

定理2已知數列{an}的“原函數”y=f(x)在區間A上為增函數，an∈A.如果f(x)>x，f(x)=x，f(x)

(1){an}為遞增數列的充分必要條件是a1∈A1；

(2){an}為常數數列的充分必要條件是a1∈A0；

(3){an}為遞減數列的充分必要條件是a1∈A2.

證明(1)(必要性) 因為{an}為遞增數列，所以

an+1>an，

即

f(an)>an，

則

an∈A1,

因此

a1∈A1.

(充分性) 用數學歸納法.

當n=1時，因為a1∈A1，所以

f(a1)>a1，

即

a2>a1.

假設當n=k時，結論成立，即

ak+1>ak.

當n=k+1時，

ak+2=f(ak+1)>f(ak)=ak+1，

即

ak+2>ak+1.

由此可知，對于任意正整數n，都有an+1>an，即{an}為遞增數列.

(2)和(3)同理可證.

評注(1)定理中條件“函數y=f(x)為增函數”不可缺少，否則數列{an}不單調(易證).

(2)從充分性的證明中可看出：當a1∈Ai時,an也必須滿足an∈Ai(i=1,2,3)，亦即當x∈Ai時，f(x)∈Ai不容忽視.

2 定理應用

例1見文首.

分析(1)由題意,知數列{xn}的“原函數”為

f(x)=-x2+x+c.

因為x1=0且{xn}單調遞減，所以

xn∈(-∞,0].

由定理1,知x∈(-∞,0]是f(x)>x解集的子集.由f(x)>x，得

x2>c,

從而

c<0.

當c<0時，f(x)=-x2+x+c在x∈(-∞,0]上單調遞增，且當x∈(-∞,0]時,

f(x)=-x2+x+c∈(-∞,c](-∞,0]

滿足定理1的條件.由定理1知{xn}是單調遞減數列的充分必要條件是c<0.

(2)由第(1)小題，知c>0.由f(x)>x,得

評注由于數列的該性質是由函數的性質遞推給出的，因此標準答案對于充分性的證明是用數學歸納法給出的，這也恰好體現了“遞推”特色.后面的試題都具有這種特征，將不再贅述.

(1)略；

(2)求使不等式an

(2010年全國數學高考理科試題)

分析由題意知數列{an}的“原函數”為

因為a1=1,an

an∈[1,3).

(1)略；

(2)若對一切n∈N+都有an+1>an，求a1的取值范圍.

(2009年安徽省數學高考理科試題)

分析由題意知數列{an}的“原函數”為

(2008年山東省高中數學競賽預賽試題)

分析由題意知數列{an}的“原函數”為

由f(x)>x,得

x∈(1,2)或(-∞,1).

(2001年上海市數學高考試題)

分析由題意知數列{xn}的“原函數”為

由f(x)>x,得

x∈(1,2)∪(-∞,-1).

以上5道高考與預賽題具有相同的背景、命制思路，真可謂是5道姊妹題，原是同根生.相比于充斥教輔市場、數量繁多的模擬試題，高考試題是其中的“精品”.因此，要舍得在高考試題研究上下功夫，明晰其來龍去脈，揭示其本質特征,找到其通性通法.唯有如此，才能使復習真正做到以不變應萬變，才能使教學有實效、高效.