一杯陳年佳釀 令人回味悠長
——對一個三角最值問題的深入探究

● (柯橋中學 浙江紹興 312030)

一杯陳年佳釀令人回味悠長——對一個三角最值問題的深入探究

●樊宏標(柯橋中學 浙江紹興 312030)

人教版《數學》選修4-5作業本第71頁的第17題如下：

此題有一定的難度，學生不易求解.從作業的反饋情況來看，大致有2類典型的錯誤．

錯解1由基本不等式,得

錯解2由柯西不等式,得

1 錯因剖析

錯解2運用柯西不等式進行求解，同樣忽視了等號成立的條件．若等號成立，則必有

由此可知，忽視等號成立的條件是學生利用不等式求最值最容易犯的錯誤．因此，在利用不等式求最值時，教師要提醒學生注意“等號成立的條件”，養成“即時驗證”的良好習慣．

2 解法探究

解法1利用柯西不等式

由柯西不等式，得

再由柯西不等式，得

由于sin2x+cos2x=1，因此，對原題加以拓展，可轉化為：

m2+n2=(x2+y2)(m2+n2)≥(mx+ny)2，

當且僅當

故

解法2待定系數法

設m,n為正的常數.由柯西不等式，得

(1)

(m2+n2)(sin2x+cos2x)≥(msinx+ncosx)2.

(2)

由式(1)和式(2),得

而式(3)中等號成立的條件是式(1)和式(2)中的等號同時成立，即

亦即

代入式(3),整理得

在日常的教學中，教師往往會到此為止，認為思路已經打通，源頭已經找到，方法已經點明，解題過程也就自然完成了．但筆者認為數學解題的基本程式包括簡單模仿、變式練習、自發領悟、自覺分析[1]，因此，筆者引導學生繼續分析題目的結構特征，看還有沒有其他更好的解法．不料這一問，激起了學生極大的興趣，很快就有學生提出新的想法，共同探究，得到如下2種解法．

解法3運用基本不等式

考慮到

當且僅當

即

解法4利用導數

令f′(x)=0,即

因為

所以

又因為

sin2x+cos2x=1，

此時

f(x)的單調性分析如表1所示.

表1 f(x)的單調區間

3 拓展延伸

課后，筆者又進行了深入研究，對于上述問題，利用赫爾德(H?lder)不等式可作進一步拓展，結論如下：

(1)當t∈(0,2)時，y取得最大值；

(2)當t∈(-∞,0)∪(2,+∞)時，y取得最小值．

asintx+bcostx,

從而

sin2x+cos2x=1,

從而

同理可證，當t∈(-∞,0)時，

點評本文一開始的作業習題顯然是上述定理取t=-1的特殊情況，該題若用H?lder不等式證明，則更簡單．

4 幾點思考

(1)在新課程理念下，筆者認為教師的解題教學不是“講習題”，而是“用習題”.教師的作用就在于挖掘習題的內涵，使之更為豐滿、生動，更具聯系性．

(2)教學中應把“探索作為數學教學的生命線”(布魯納)．通過創設恰當的問題情境，促進學生在活動中感悟并獲得數學知識與思想方法．在知識的發生、發展與運用的過程中，培養學生的思維能力、創新意識和應用意識．

(3)促進課堂互動，創建寬松、和諧的學習環境．教學中，要充分發揮教師的主導作用，以問題為中心，以探索為生命線，注重優化學生的思維品質．數學解題教學絕對不能就題論題，就答案而講答案，而更應關注為什么這樣解，以充分暴露解題的思維過程，并不斷地引導學生對典型例題作解題后的反思.讓他們通過已知學未知，通過分析已經解決的習題去領悟解題思想，通過解題思想去駕馭并活化知識與方法，增強分析能力，提高領悟水平，優化思維品質，從而真正提高學生分析問題和解決問題的能力．

(4)注重問題的引申與拓展．從一道題出發，進行多角度、多方位的思考，并縱橫聯想、拓展延伸.這樣處理一道題，便可以收到多方面的教學效益，既鞏固了大量的基礎知識，又拓寬了學生的思維空間．真是“典型習題剖析透，一石三鳥碩果收；縱橫馳騁留不住，海天寬闊任遨游”！

[1] 樊宏標．從一個案例談數學解題的基本程式[J]．高中數學教與學，2010(7)：5.