基于Excel的中學數學函數圖像教學研究

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（如皋高等師范學校，江蘇如皋 226500）

一、引言

函數一直是中學數學教學的重點，也是學生最難學習的內容之一。通過函數圖像來研究函數的性質，既是數學研究的重要思想，也是數學研究的重要途徑。函數圖像從“數”到“形”，能夠直觀、形象、準確、生動地表現函數的性質與參數的關系，通過改變參數，學生可以觀察、分析、研究不同參數是如何影響函數圖像的，從而總結出函數的相關性質，加深學生對函數及參數意義的理解。因此，準確繪制函數的圖像對于輔助函數概念及性質教學具有至關重要的作用。

現代計算機具有非常豐富的圖像繪制軟件，它們幾乎能繪制出所有數學函數的圖像。但是，盡管目前可以用來繪制函數圖像的軟件非常多，可是其中不少軟件界面比較復雜，學起來比較困難，操作步驟繁瑣，一般教師和學生都很難掌握，不利于掌握和推廣。筆者多年從事信息技術與學科教學整合的研究，發現微軟辦公自動化系列軟件中的Excel（本文以Excel2007為操作平臺）不僅可以直接根據函數的解析式快速作出靜態的函數圖像，而且還可以動態地繪制出函數的圖像隨函數解析式參數的變化而變化的過程，因果關系一目了然。

二、對Excel作圖功能的認識

傳統的函數圖像作圖采用的是“描點法”，它的基本步驟是：

（1）列表：根據函數的解析式，按變量大小為序，求出若干個有序實數對填入表中。

（2）描點：即根據列表中的有序實數對，在坐標系中描出對應的點。

（3）連線：將相鄰的點用平滑的曲線連接起來即可得到相應函數的圖像。很顯然，如果要繪制出不同參數情況下函數的圖像，那是相當繁瑣的。

Excel繪制函數圖像的原理實際上也是基于“描點法”的，不過整個過程是由計算機自動完成的，并且能夠很好地體現函數圖像與參數之間的關系。它的基本步驟是：

（1）在連續的單元格中通過“等差序列”自動生成函數自變量的值。

（2）將函數式改寫為相應的公式插入到對應的單元格中。

（3）選擇圖表類型“無數據點平滑散點圖”即可完成函數的靜態圖像。動態函數圖像的繪制就是在靜態圖像的基礎上增加了函數解析中參數的變化，所以，在Excel中需要增加一個區域用來描述函數參數的變化，最后通過動作按鈕實現函數圖像的動態變化，從而在感官上認識到函數的參數和函數圖像之間的關系。

三、Excel與中學函數圖像教學的簡單整合

在眾多的函數中，二次函數y＝ax2＋bx＋c是非常典型的，而且是一個典型的含有參數的函數，不同的a、b、c將決定著這個二次函數的開口方向、開口大小、對稱軸、與x的交點情況等性質。因此，通過研究Excel與二次函數圖像的有機整合，對于研究其他函數具有普遍的意義。為簡便起見，約定其中一個參數變化，而另兩個參數不變，這里不妨只考慮“a變化，b、c不變”的情形，以函數“y＝ax2＋2x＋3”為例介紹Excel繪制函數圖像的過程。

⒈給定自變量、函數、參數的值

在 A1、B1、C1 單元格內分別輸入“x”、“y＝ax2＋2x＋3”、“a”，在 A2 單元格輸入－3、A3 單元格輸入－2.8，然后同時選中A2、A3這兩個單元格，然后將鼠標移到A3單元格的右下角，待鼠標變成“＋”時按住鼠標左鍵不放，向下填充至數值3為止（這里僅繪制變量x在[－3,3]上的圖像，點與點之間的橫坐標間距為0.2）。在C2單元格中輸入參數a的初始值（這里不妨設為“1”）。在B2單元格中輸入公式 “＝＄C＄2*A2*A2＋2*A2＋3”（這里的“＄C＄1”表示參數a的值來源于C2單元格，＄C＄2是絕對地址表示法），從B2單元格向下復制公式，可以得到每一個變量x所對應的函數值。這個過程實際上相當于描點法中的“列表”。

⒉繪制靜態的函數圖像

選中A列、B列的數據區域，然后執行“插入”→“圖表”→“XY（散點圖）” →“僅帶數據標記的散點圖”。這個過程相當于描點法中的“描點”。

將“僅帶數據標記的散點圖”改為“帶平滑線和數據標記的散點圖”，可以看到有一根平滑線把這些點連接在一起來，如果選擇“帶平滑線的散點圖”，那么圖像上將看不到剛才描的那些點。這個過程相當于描點法中的“連線”，如圖1。

圖1

改變C2單元格的數值（即改變參數a的值，可以非常清晰地看到圖像開口的大小、坐標軸位置的變化等信息。當a為0時圖像演變成一條直線）。

⒊繪制動態的函數圖像

靜態圖像不能很好地表現函數圖像隨參數變化而變化的情況，而動態圖像卻將這一變化淋漓盡致地表現出來。具體方法：

“開發工具”菜單（如果“開發工具”選項卡未顯示，請單擊“Office按鈕”，然后單擊“Excel選項”。在“常用”類別中的“使用 Excel時采用的首選項”下，選中“在功能區顯示‘開發工具’選項卡”復選框，然后單擊“確定”。）→“插入”→“命令按鈕（Activex控件）”→在工作表中繪制一個命令按鈕→在命令按鈕上右擊鼠標，在彈出的菜單中選擇“屬性”→將“屬性”面板中“Caption”右側框中改為“動畫演示”→在命令按鈕“動畫演示”上右擊鼠標→“查看代碼”（“開發工具”的“控件”選項中的“設計模式”要處于選中狀態，否則“查看代碼”一項無法選擇）→在“代碼”窗口中輸入代碼：

最后關閉整個“代碼”窗口。取消“開發工具”的“控件”選項中的“設計模式”選中狀態，單擊命令按鈕“動畫演示”，可以看到參數a由－10變化到10的情況下（每次變化1）二次函數圖像變化的情況。

不過，從動畫演示的過程中，我們不難發現畫面的抖動，這是因為在參數a變化之后，坐標軸也發生了變化，這一點是不利于研究函數圖像變化與參數變化之間的關系。為了消除這種抖動，我們需要右擊坐標軸，在彈出的菜單中選擇“設置坐標軸格式”，在“設置坐標軸格式”對話框中將“坐標軸選項”的“最大值”、“最小值”、“主要刻度單位”、“次要刻度單位”都設定為“固定”，本例中設“最大值”、“最小值”分別為120、－120。再單擊命令按鈕“動畫演示”，可以看到畫面非常穩定，學生很容易從動畫中觀察并得出二次函數圖像的開口大小與參數a的關系（a越小開口越大，a越大開口越?。?以及對稱性、單調性、頂點位置等函數性質。

當然，如果覺得動畫太快，那可以在“DoEvents”與上一行之間加一段延時程序：

注意：可以通過改變“設計模式”的選中與否來決定是編緝命令按鈕的程序代碼還是執行命令按鈕。

四、Excel與中學函數圖像教學的高級整合

前面通過僅改變函數的一個參數簡單地說明了Excel與函數圖像教學整合的過程，下面則以研究三角函數 y＝Asin(ω x＋φ )中的參數 A,ω ,φ 與函數圖像的關系進一步闡述Excel與函數圖像教學整合的一般過程。

第一種情形：在同一坐標系中作出一個參數取不同值時三角函數y＝Asin(ω x＋φ)的圖像及性質（這里不妨只研究參數A變化，而ω和φ不變的情況，其余情況類似。不妨假設ω＝1，φ＝1，此時三角函數就演變成y＝Asin(x＋1)，x∈[－6.2,6.2]）（設 π ＝3.14，為簡便起見取 3.1）。

（1）列表。分別在單元格 A1、B1、C1、D1、E1、F1、G1 中輸入“x”、“y1＝A1sin(x＋1)”、“y2＝A2sin(x＋1)”、“y3＝A3sin(x＋1)”、“A1”、“A2”、“A3”。在 A2 單元格中輸入－6.2，在 A3 單元格中輸入－6.0，同時選中 A2、A3單元格后按住鼠標左鍵拖動“填充柄”到單元格內出現填充值 6.2 為止。在 E2、F2、G2 中分別輸入 1、2、3（表示A 分別取 1、2、3這三個數值）。分別在 B2、C2、D2單元格中輸入“＝＄E＄2*SIN(A2＋1)”、“＝＄F＄2*SIN(A2＋1)”、“＝＄G＄2*SIN(A2＋1)”。分別選擇 B2、C2、D2 單元格向下填充。

（2）描點、連線。選中A、B、C、D的數據區域，然后執行“插入”→“圖表”→“XY（散點圖）” →“帶平滑線和數據標記的散點圖”，可以看到有三根平滑線正弦曲線圖，如圖2。從圖中可以非常清楚地發現參數A值越小曲線的振幅越小，A值越大曲線的振幅越大。

圖2

改變單元格E1、F1、G1中的數值可以得到A取不同參數值時的圖像。

第二種情形：在同一坐標系中運用動畫演示不同參數A、ω、φ 下函數y＝Asin(ω x＋φ)的圖像。（不妨設π ＝3.14， 為 簡便起 見 取 3.1，A∈[－5,5]，ω ∈[－5,5]，φ ∈[－5,5]）。

（1）列表。在單元格 A1、B1、C1、C2、C3 中分別輸入“x”、“y＝Asin(ω x＋φ )”、“A＝”、“ω ＝”、“φ ＝”。在A2 單元格中輸入－6.2，在 A3 單元格中輸入－6.0，同時選中A2、A3單元格后按住鼠標左鍵拖動“填充柄”到單元格內出現填充值 6.2為止。在 C1、C2、C3中分別輸入“A＝”、“ω ＝”、“φ ＝”。在 D1、D2、D3單元格中設置A、ω、φ 的初始值都為1。在B2單元格中輸入“＝＄D＄1*SIN(＄D＄2*A2＋＄D＄3)”。選擇 B2 單元格向下填充。

（2）在E1、E2、E3單元格中分別插入一個“數值調節鈕（Activex控件）”（此控件亦在“開發工具”選項卡），用來調節參數A、ω、φ 的變化。

（3）在“設計模式”下，右擊第一個“數值調節鈕（Activex控件）”，分別設置此按鈕的“max”屬性為5，“min”屬性為－5，右擊第二個“數值調節鈕（Activex控件）”，分別設置此按鈕的“max”屬性為5，“min”屬性為－5；右擊第三個“數值調節鈕（Activex控件）”，分別設置此按鈕的“max”屬性為5，“min”屬性為－5。

設置第一個“數值調節鈕（Activex控件）”的控制程序：

設置第二個“數值調節鈕（Activex控件）”的控制程序：

設置第三個“數值調節鈕（Activex控件）”的控制程序：

這3段小程序就是將3個“數值調節鈕（Activex控件）”分別與D1、D2、D3單元格建立了鏈接，從而達到通過數值調節鈕控制A、ω、φ 的目的。

（4）描點、連線。選中A、B的數據區域，然后執行“插入”→“圖表”→“XY（散點圖）” →“帶平滑線和數據標記的散點圖”，可以看到一根平滑線正弦曲線圖。

（5）將“坐標軸選項”的“最大值”、“最小值”、“主要刻度單位”、“次要刻度單位”都設定為“固定”，且設“最大值”、“最小值”分別為5、－5。

（6）退出“設計模式”，分別通過“數值調節鈕（Activex控件）”來控制參數A、ω、φ 的變化，可以看到函數y＝Asin(ω x＋φ)的圖像與參數A、ω、φ 之間的關系，如圖3：

圖3

實踐表明：利用Excel來繪制函數圖像不僅簡單、方便、易學，而且用它繪制的函數圖像非常逼真。中學函數圖像教學內容豐富，教師只需向學生演示其中的幾個函數圖像的繪制并引領他們通過圖像來分析、研究、總結這些函數的性質（如單調性、對稱性、奇偶性、與坐標軸的交點等性質），而更多的象指數函數、冪函數、雙曲線、橢圓等函數圖像的繪制、圖像的性質分析可以在教師的指導下讓學生通過小組協作學習、分組討論，進而完成學習任務。另外，這些圖表中不僅包含了函數圖像，而且還包含函數的變量、函數的值，通過數與形的結合，讓抽象的函數、圖像及性質教學變得簡單而直觀。這種“實驗、探究、發現”教學模式，不僅大大增強了學生學習數學的興趣，還能夠充分培養抽象思維的能力，激發學生學習數學的興趣，極大地提高學生運用信息技術處理實際問題的能力。

五、結束語

在中學數學教學過程中，用計算機軟件繪制函數的圖像不僅僅是為了追求視覺上的效果，而是要通過靜態及動態函數圖像幫助學生對函數的相關知識進行理解，有助于教師引領學生掌握新穎的自主學習方法，對培養學生分析問題、解決問題的能力也大有好處，可以讓通過自主學習、協作學習的學生獲得新的認知、新的啟示、新的發現，進而豐富、拓展學生的認知。

從更深層次的角度講，將信息技術應用于中學數學教學，使其與中學數學課程教學的有效整合，不僅符合中學數學課程標準，而且符合中學數學課程教學的特點。運用現代信息技術手段，把中學數學課程中豐富、抽象的教學內容，與教師的“教”和學生的“學”進行有機重組從而達到完成課程教學任務的一種新型教學模式。不過，這種整合不是簡單地將現代信息技術應用于中學數學的教學過程中，更不是為了“整合”而整合，而是要從真正意義上實現現代信息技術與中學數學課程教學的深度“融合”，它十分強調教師的主導作用和學生的主體地位。它為中學數學的教學創設了新的教學情境，優化了課堂教學的結構，營造了良好的教學氛圍，豐富了學科知識,激發了學生參與和探索熱情，極大地提高了學生認知能力，它改變了數學及其研究方法，影響了學生學習數學的方式，改變了教師教學數學的模式。

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