高速公路收費問題
——一個源于交通博弈的分析

吳萬宗湯學良

（1.上海大學 社會科學學院，上海200444；2.上海財經大學 經濟學院，上海200433）

高速公路收費問題
——一個源于交通博弈的分析

吳萬宗1湯學良2

（1.上海大學 社會科學學院，上海200444；2.上海財經大學 經濟學院，上海200433）

當個體考慮駕車到達某地或者是從互聯網上傳輸數據，都會涉及到最基本的博弈思想：人們不是簡單的選擇一條線路，而是需要去評估那些由他自己和其他人所做的決策引起的線路阻塞問題。［1］（P229－247）一旦個體是理性的參與人，他們的最終決策會達到我們通常所說的納什均衡解處。但是，令人吃驚的是，為了提高運力而增加的額外道路，不但沒有提高交通運輸能力，反而是減少了，這個結果被稱之為Braess悖論。顯然，它是一個壞的納什均衡。于是，為了解決這一難題，高速公路的收費有時候看起來就不是那么令人討厭的了。

納什均衡；Braess悖論；高速公路；收費

一、問題的提出

本文用一個有向圖來表示一個交通網絡：考慮用線條表示高速公路，而節點則表示出入特定高速公路的樞紐。例如，假設A為一個郊區樞紐，B為一個市區樞紐，我們正在關注一個早班車輛的行駛數據。統計結果是，每一條路段都會有一個特定的取決于其承載車輛多少的行駛時間。

圖1

為了使問題更加具體，考慮圖1中的交通網絡，網絡可以是任何一個有向圖。有一個駕駛人員的集合，并且不同的駕駛人員可以有不同的起始點和目的地。現在，每條路段e具有一個行駛時間函數Te（x），它給出了當有x名駕駛人員行駛在該路段上，個體穿越路段所需時間是Te（x）。這些行駛時間是用簡化的函數來表示的，假設所有行駛時間函數是依據交通量而線性的，所以Te（x）＝Ae·x＋B，其中Ae、B為系數，并且有Ae、B＞0。

在這個簡化的例子中，路段AD和CB對阻塞不敏感：一方面，每輛車只需50分鐘即可行駛全程而不管有多少車輛在這一路段上；另一方面，路段AC和DB卻對阻塞非常敏感：對于每輛車來說，當有x輛車行駛在此路段上時，將花費他（她）x／100分鐘的時間去完成這一路段。①為使推理清晰，在任何現實應用中，我們可以簡化行駛時間，即每條公路本應該具有最小行駛時間和對行駛其上車輛數的一個敏感時間。但是，指定路段上行駛時間的分析有助于更加直接適應錯綜復雜的運行。

現在，假設作為早班車輛隊伍中的一部分，有4000輛車想從A地到B地。這里有兩條可能的路線供每一個駕駛人員去選擇：途徑C的上行路線，或者是途徑D的下行路線。假若每個駕駛員選擇了上行路線，那么總的個體行駛時間為90分鐘，因為4000／100＋50＝90；對于全體都選擇下行路線來說是同樣的。另一方面，若車輛被平分兩隊，分別從上、下兩條路線行駛，以便每條路線僅承載2000輛車，這樣對于兩條路線上的人們來說每人只需花費70分鐘，明顯好于上述兩條路線。

上面描述的交通模型可以進一步的用博弈論的語言加以刻畫。［2］記4000名駕駛人員為參與者的有限集合N，N＝4000。稱非空集Si為參與人i∈N的策略集合，參與人在策略集合里選擇任一策略Si，我們知道對于任意參與人來說，顯然該交通模型中的Si＝｛ACB，ADB｝。而每個參與人最終的選擇則取決于他們共同的決策，是一個時間數值的負值（因為大的行駛時間非常糟糕）。當然，在這里我們只談論中一些純策略的博弈，對于混合策略的概念則暫不討論，并且這些談論滿足博弈論一些嚴格且有趣的假設。例如，有限理性、共同知識、完全信息等。通過以上的設定，我們可以立刻得到一個有關該交通博弈的結論：

結論1：假若參與者平均分布在兩條路線上去抵達目的地，則該交通博弈達到一個納什均衡。

為什么參與者平均分布在兩條路線上可以導出一個納什均衡，為什么所有的納什均衡會是一個平均分布。簡單地證明一下：對于第一個問題，我們僅需考慮在參與者平均分布在兩條路線上之后會不會有參與者做出改變即可。我們可以看出，對于所有參與者來說改變路線的成本會更大（支付變小），所以沒有參與者愿意做出改變，所以現在的狀況對他們來說就是最好的，此時是一個納什均衡。而對于第二個問題，考慮這樣一個策略組合：有x名參與者使用上行路線ACB，剩下的4000－x名參與者選擇下行路線ADB。假如x≠2000，那么兩條路線之間會有不同的行駛時間，并且任何一位在較慢路線上的參與者將會有足夠的動力去轉移到更快的路線上去。進一步講，我們得到x≠2000的策略組合不可能成為一個納什均衡，并且那些任一x＝2000的組合會是一個納什均衡。

在圖1中，每件事情都非常清晰地運作著：所有駕駛人員的理性行為帶來了均衡，促使他們完美地平衡選擇兩條可用的路線。但是，假如在該模型上做一個小小的改變，會立即發現一個違反我們直覺的事實。

圖2

作出如下改動：假設市政府決定去修一條新的快速通道來連接C、D兩地，如圖2所示，為了保持那種簡化的分析，我們定義這條道路的行駛時間為0，而不管有多少汽車行使其上。②雖然這樣對結果的影響大于使用更加現實的行駛時間，但是這種影響很小。一旦新的道路修成，給人們的第一印象是：這時從A地到B地所用的時間會縮短。可是，令人吃驚的是，一旦加入新的高速通道到交通模型中去，實質上是使得Si＝｛ACB，ADB，ACDB｝。對于得到的惟一納什均衡是一個更長的時間，所以是一個更加壞的均衡。在均衡解處，每個駕駛人員選擇通過CD這一新路段的路線，每個參與者的行駛時間都是80分鐘（4000／100＋0＋4000／100＝80）。即我們可以得到第二個結論：

結論2：當增加新的路段CD之后，所有參與者選擇路線ACDB是一個惟一的納什均衡。③這里隱含了CD為單行道的假設，即人們只可從C向D行駛。實際上，即使CD為雙向道，我們仍然可以得到該結論，因為路線ADCB需要花費100分鐘，這是一個嚴格劣策略。

接下來證明這為什么是一個惟一的納什均衡。

可以注意到，當所有人選擇通過CD的路線后，沒有參與者可以通過改變路線來獲益：如果回避CD路線，選擇上行或者下行路線，都將花費90分鐘。再考慮它為什么是惟一的均衡解。我們也可以發現，在C、D間建立的這一條道路實際上是讓通過CD這條路段成為所有參與者的一個占優策略。換句話說，一旦CD路段被建立，就會像一個魔盒將所有參與者吸過來，并損害了所有人的收益。

這種通過增加網絡運力卻破壞完美均衡的現象被Dietrich Braess于1968年首次明確提出，后來成為著名的Braess悖論。［3］如同許多違反常理的異象一樣，它需要復雜的條件合成才會突然出現；但是，這個悖論已經在一些現實中被觀測到——韓國首爾，通過將一個六車道的高速公路改造成停車場，不但沒有增加交通阻塞，反而比先前更加暢通。看上去，這更加像從反面佐證了Braess悖論。［4］

研究人員正在考慮Braess悖論是如何發生的。用博弈理論來講，實際上在說明增加一個新策略的設置，會使每個人的狀況變得更差而已。一個著名的例子就是囚徒困境（prisoners’dilemma）：比較每個囚徒面對的可選策略只有“不坦白”，將“坦白”策略加入博弈，使得每個囚徒的境況變得更加糟糕，從而有利于審判，這也是為什么警長會這么做的原因。［1］（P229－247）

然而，從直覺層面上來說，我們所有人會有一種美好的感覺，“升級”一個網絡意味著一個更加美好的事情將要發生，所以當“升級”使事情變得更加糟糕之時，便令所有人感到吃驚了。

實際上，Braess悖論只是有關交通博弈問題中一大堆工作的開始。人們可以保有疑問，在新加入一條路段之后，均衡時間能夠擴大多少？它與原來的均衡又有多大聯系？交通網絡可不可以是任意的，這些問題或已經得到解決，或有待研究。但是，本文所要考察的卻是通過這一悖論所引出的有關現實中的一個看似完美解決這一悖論的措施——在高速公路上安放收費站，似乎可以阻止那種令人驚訝的壞的均衡發生。

二、均衡處的社會成本

我們試著去量化一下，最優的社會成本和均衡時的社會成本究竟有多大差距？而社會成本TSC（Total Social Cost）在該模型中被定義為所有使用道路的駕駛人員行駛時間的總和。

圖3

先來看圖3（a），這時候所有4000名駕駛人員（從A地到B地）的理性選擇使得車流平分為上下兩條路徑，各路徑上分別有2000人。在圖3（a）中導出了最小的社會成本，當然，此時的社會福利也就是最大化的，每一位駕駛人員都需花費70分鐘去到達目的地。所以總的社會成本是TSC1＝70＊4000＝280000分鐘。

再來看圖3（b），這時候4000名駕駛人員均會選擇ACDB這一“之”型的路線，因為這是他們的占優策略，而每一位駕駛人員的行駛時間為80分鐘。在圖3（b）中，納什均衡處的社會成本TSC2＝80＊4000＝320000分鐘。我們還知道的事實是，在圖3（b）中，280000分鐘是最優的社會成本，但卻沒有被得到。

很明顯，TSC2＞TSC1，這從社會成本的角度再次印證了Braess悖論的發生，所以，當加入一個新的路段到交通博弈中去時，壞的均衡是可能發生的。現在，我們考慮收費站T伴隨新路段CD的加入而加入。為了得到完美地結果，或者說更加貼近現實，需要對以上分析的博弈稍加修改，這種修改也只是限于假設層面。

三、收費站的設置

現在改變一些假設，參與博弈的駕駛人員（從A地到B地）被平分成這樣的兩類人：一類是優先考慮行駛的時間成本，另一類是首先考慮金錢成本。當我們計算社會總成本的時候仍然以行駛時間為參照，即時間與金錢暫不考慮可以互相轉化。當然我們是在摒棄燃油費、建立路段CD和收費站T的成本的條件下再次審視這個博弈。

這時候，我們再來考慮這個交通博弈，均衡會是什么呢？社會最優解處的成本與博弈均衡解處的成本又有怎樣的差異？

圖4

我們可以從圖4看出，在均衡處，一類駕駛人員會為了節省過路費而選擇相對便宜的上下路徑，且這2000人會平均分布在ACB和ADB路線上，每個人花費3000／100＋50＝80分鐘；而另一類駕駛人員，他們則不顧收費站的存在選擇占優策略——ACDB“之”字型路徑，每個人花費3000／100＋0＋3000／100＝60分鐘。

現在我們再來看看均衡處的社會總成本TSC＝80＊2000＋60＊2000＝280000分鐘，這與我們最初考察的社會最優成本是一致的。所以，我們可以得出結論：

結論3：在新路段加入時，配套的收費系統可以有效地防止Braess悖論發生，可以使那個壞的納什均衡不出現，此時社會福利是最優的。

所以，在我們衡量政府一個措施出臺或者是規制的效果時，不能單單的考量其表面的一些數據，還應看看其背后隱藏的許多其他要素間的相互影響，這也是博弈論在當代分析工具領域所具有的獨特魅力所在。

四、本文的啟示與不足

本文的假設都是為了得到最終的結果。例如，對路段時間函數的設立，兩類人的平均概率分布，時間與金錢不相互轉化，還有交通均衡的納什均衡解是否存在，如何尋找的問題。這都是我們必須要進一步深入探討的，如果放松上述條件仍然可以得到一個一般性的結論，那么就是說我們可以有效解決Braess悖論。但是，本文只是為了說明一個問題：當人們總是在討論公路收費問題是如何糟糕的時候，通過其背后隱藏的信息，有時候那些看似壞的規制并不總是很糟糕。所以，本文使用一些很強的假設足矣去說明一個問題：當前形勢下的一些道路收費政策，如果我們從博弈的視角看，是有其合理性的。

［1］David Easley ，Jon Kleinberg.Networks.Crowds，and Markets：Reasoning about a Highly Connected World ［M］.Cambridge University Press，2010.

［2］〔加〕馬丁.J.奧斯本，〔美〕阿里爾·魯賓斯坦.博弈論教程［M］.魏玉根，譯.高峰，校.北京：中國社會科學出版社，2000.

［3］Dietrich Braess.Uber ein paradoxon aus der verkehrsplanung［J］.Unternehmensforschung，1968，（12）.

［4］Linda Baker.Removing roads and traffic lights speeds urban travel ［J］.Scientific American.2009，2.

吳萬宗（1986－），男，上海大學社會科學學院政治經濟學2010級碩士研究生，主要從事公共經濟學、社會主義經濟理論研究；湯學良（1986－），男，上海財經大學經濟學院經濟學2011級博士研究生，主要從事博弈理論、宏觀經濟理論研究。