數學家與π

黑龍江 張艷 姜彥琪

數學家與π

黑龍江 張艷 姜彥琪

圓周率是表示圓的周長與直徑的比的一個定值。本文通過介紹古今中外著名數學家探索其準確近似值的過程，從而展現π的魅力以及數學方法的奇異美。

圓周率；阿基米德；劉徽；祖沖之

引言

圓周率是一個極其馳名的數。從有文字記載的歷史開始，這個數就引起了外行人和學者們的興趣。作為一個非常重要的常數，圓周率最早是出于解決有關圓的計算問題。圓的周長總是直徑的3倍多一些，表示這3倍多一些的數是一個固定的數，我們把圓的周長和直徑的比值稱之為圓周率。用字母π表示。圓周率是一個無限不循環小數，也就是說它的小數部分既是無限的又是無規律的，是永遠寫不完的。回顧歷史，我們可以將這一計算歷程分為幾個階段。

1 實驗時期

通過實驗對π值進行估算，這是計算π的的第一階段。估算基本上都是以觀察或實驗為根據，是基于對一個圓的周長和直徑的實際測量而得出的。大約公元前2000年，古巴比倫人用近似值3.125表示π。在古代世界，實際上長期使用π＝3這個數值。最早見于文字記載的有基督教《圣經》中的章節。在我國劉徽之前“圓徑一而周三”曾廣泛流傳。我國第一部《周髀算經》中就有記載。木工師傅有兩句從古流傳下來的口訣：叫做：“周三徑一，方五斜七”，意思是說，直徑為1的圓，周長大約是3，邊長為5的正方形，對角線之長約為7。這正反映了早期人們對圓周率π和這兩個無理數的粗略估計。東漢時期官方還明文規定圓周率取3為計算面積的標準。后人稱之為“古率”。早期的人們還使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希臘人曾用谷粒擺在圓形上，以數粒數與方形對比的方法取得數值。或用勻重木板鋸成圓形和方形以秤量對比取值……由此，得到圓周率的稍好些的值。如古埃及人應用了約四千年的4(8/9)2=3.1605。

2 幾何法時期

阿基米德在一篇論文《圓的測定》中第一次創用上、下界來確定π的近似值，他使用了基于內接和外切多邊形的幾何方法證明了“圓周長與圓直徑之比小于3+(1/7)而大于3+(10/71)”，得到了上下界：3.1408＜π＜3.1428。到公元150年左右，希臘天文學家托勒密得出π＝3.1416，取得了自阿基米德以來的巨大進步。

在我國，首先是由數學家劉徽得出較精確的圓周率。公元263年前后，劉徽提出著名的割圓術，得出π＝3.14，通常稱為“徽率”，他指出這是不足近似值。雖然他提出割圓術的時間比阿基米德晚一些，但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術僅用內接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，簡捷很多。另外，有人認為在割圓術中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法，以致于他將割到192邊形的幾個粗糙的近似值通過簡單的加權平均，竟然獲得具有4位有效數字的圓周率π＝3927/1250＝3.1416。而這一結果，如果通過割圓計算，需要割到3072邊形。這一神奇的精加工技術是割圓術中最為精彩的部分，令人遺憾的是，由于人們對它缺乏理解而被長期埋沒了。

恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻，祖沖之關于圓周率的兩大貢獻。其一是求得圓周率3.1415926＜π＜3.1415927。其二是，得到π的兩個近似分數即：約率為22／7；密率為355／113。他算出π的8位可靠數字，不但在當時是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年。以致于有數學史家提議將這一結果命名為“祖率”。

1150年，印度數學家婆什迦羅第二計算出π=3927/1250=3.1416。1424年，中亞細亞地區的天文學家、數學家卡西著《圓周論》，計算了3×228＝805,306,368邊內接與外切正多邊形的周長，求出π值，他的結果是：π＝3.14159265358979325有十七位準確數字。這是國外第一次打破祖沖之的記錄。16世紀的法國數學家韋達利用阿基米德的方法計算π近似值，用6×216正邊形，推算出精確到9位小數的π值。他采用比阿基米德更先進的工具：十進位置制。17世紀初，德國人魯道夫用了幾乎一生的時間鉆研這個問題。他也將新的十進制與早的阿基米德方法結合起來，但他是從正方形開始的，一直推導出了有262條邊的正多邊形，約4,610,000,000,000,000,000邊形！這樣，算出小數35位。為了記念他的這一非凡成果，在德國圓周率π被稱為“魯道夫數”。但是，用幾何方法求其值，計算量很大，它已引導數學家們走得很遠，再向前推進，必須在方法上有所突破。

3 分析法時期

這一時期人們開始擺脫求多邊形周長的繁難計算，利用無窮級數或無窮連乘積來1593年，韋達給出

這一不尋常的公式是π的最早分析表達式。它表明僅僅借助數字2，通過一系列的加、減、乘、除和開平方就可算出π值。接著有多種表達式出現。如沃利斯1650年給出：

1706年，梅欽建立了一個重要的公式，現以他的名字命名

再利用分析中的級數展開，他算到小數后100位。顯然，級數方法宣告了古典方法的過時。此后，對于圓周率計算的紀錄一個接著一個：1844年，達塞利用公式：

算到了200位。19世紀以后，類似的公式不斷涌現，π的位數也迅速增長。1873年，謝克斯利用梅欽的一系列方法，算到小數后707位。這一驚人的結果成為此后74年的標準。此后半個世紀，人們對他的計算結果深信不疑，或者說即便懷疑也沒有辦法來檢查它是否正確。以致于在1937年巴黎博覽會發現館的天井里，依然顯赫地刻著他求出的π值。又過了若干年，數學家弗格森對他的計算結果產生了懷疑，其疑問基于如下猜想：在π的數值中，各數碼出現的機會應該相同。當他對謝克斯的結果進行統計時，發現各數字出現次數過于參差不齊。1946年，弗格森發現從第528位開始是錯的（應為4，誤為5）。直到1948年1月弗格森和倫奇兩人共同發表有808位正確小數的π。這是人工計算π的最高記錄。

4 計算機時期

1946年，世界第一臺計算機ENIAC制造成功，標志著人類歷史邁入了電腦時代，導致了計算方面的根本革命。1949年，ENIAC根據梅欽公式計算到2035（一般說是2037）位小數，包括準備和整理時間在內僅用了70小時。計算機的發展一日千里，其記錄也就被頻頻打破。

5 結束語

現在打破記錄，不管推進到多少位，也不會令人感到特別的驚奇了。實際上，把π的數值算得過分精確，應用意義并不大。現代科技領域使用的π值，有十幾位已經足夠。如果用魯道夫的35位小數的π值計算一個能把太陽系包圍起來的圓的周長，誤差還不到質子直徑的百萬分之一。我們還可以引美國天文學家西蒙·紐克姆的話來說明這種計算的實用價值：“十位小數就足以使地球周界準確到一英寸以內，三十位小數便能使整個可見宇宙的四周準確到連最強大的顯微鏡都不能分辨的一個量。”那么為什么數學家們還象登山運動員那樣，奮力向上攀登，一直求下去而不是停止對π的探索呢？為什么其小數值有如此的魅力呢？通過幾何、微積分、概率等廣泛的范圍和渠道發現π竟然與這么些表面看來風馬牛不相及的試驗，溝通在一起，這的確使人驚訝不已，這充分顯示了數學方法的奇異美。

[1]張順艷.數學的源與流.高等教育出版社，2003.

[2]劉耀，趙敦.趣談高等數學.蘭州大學出版社，2000.

[3]李心燦.高等數學應用205例.北京：高等教育出版社，1997.

[4]劉耀，徐軍民，陳知先.新編高等數學（第一冊）.蘭州大學出版社，1988.

[5]b·B鮑爾加爾斯基著，潘德松，沈金釗譯.數學簡史.知識出版社，1984.

[6]韓雪濤.計算圓周率.http://www.pep.com.cn/200503/ca.669359.htm，2003.

（編輯 李艷華）

（作者單位：牡丹江市衛生學校）