面對面垂直度誤差的數據處理*

周景亮 林志熙

（福建工程學院機電及自動化工程系，福建福州 350108）

面對面垂直度誤差檢測是機械加工測量中經常遇到的問題。傳統的測量方法（如直角尺看光隙、直角尺配塞尺、簡易打表法等）由于不符合面對面垂直度誤差的定義，存在著原理誤差，因而不能準確地得到面對面垂直度誤差值，只能用于檢驗位置精度要求較低的工件，且調整、測量效率低;而三坐標測量機成本高，不適合車間現場檢測。

因此，本文采用萬能工具顯微鏡對被測工件進行坐標測量，建立基準符合最小條件法、最小二乘法、三遠點法和對角線法的面對面垂直度誤差評定的數學模型，利用數學軟件MATLAB進行快速有效的計算處理，獲得準確的面對面垂直度誤差值及誤差示意圖，求解數據的可視化效果大大強于三坐標機的圖示化效果。最后通過測量示例證明本文提出的方法具有較高的評定精度和較好的實用性。

1 數學模型

GB/T 1958—2004規定:定向最小區域是指按擬合要素的方向包容被測提取要素時，具有最小寬度f或直徑Φf的包容區域［1］。因此，在評定面對面垂直度誤差時，首先要確定基準擬合要素的方向，即對基準提取要素的平面度誤差進行評定。然后垂直于基準擬合要素的方向，尋找包容被測提取要素時，具有最小寬度的定向最小包容區域。

1.1 基準平面的建立

建立基準平面，即對基準提取要素進行平面度誤差的評定。常用的有最小區域法、最小二乘法、三遠點法和對角線法。其中最小包容區域法是國家標準規定的方法，采用最小包容區域法評定時產生的誤差最小，精確度最高。

1.1.1 最小區域法

根據參考文獻［1］規定，按最小區域法評定平面度誤差實質上是尋找包容基準提取要素且距離最短的兩平行平面。如圖1所示零件并建立坐標系。基準平面的一般方程可簡寫為:A1x+B1y+C1z=1，設基準面上任一測量點坐標為Pi（xi，yi，zi）（i=1，2，…，n），測點到基準平面的距離為

最小區域法的目標函數F（A1，B1，C1）=［di］max－［di］min，滿足最小化時，F（A1，B1，C1）的（A1，B1，C1）即基準平面的法向量，且該三元函數F（A1，B1，C1）的最小值即為平面度誤差。因此基準平面的評定就轉化為求三元函數F（A1，B1，C1）的最小值問題。

1.1.2 最小二乘法

1.1.3 三遠點法

三遠點法是按被測實際表面上相距最遠的3點建立基準平面，以各測點對此平面的偏差中最大值與最小值的代數差作為被測實際表面的平面度誤差值。只要選定三遠點，根據平面點法式方程，即可求得基準平面的法向量。由于測量點的選取影響，其評定結果不是唯一的。

1.1.4 對角線法

對角線法是過實際被測要素的一條對角線的兩端點連線、且平行于另一條對角線兩端點連線的平面作為評定基準。同樣，通過矩陣運算便可求得基準平面的法向量。同樣，由于測量點的選取影響，其評定結果也不是唯一的。

1.2 面對面垂直度誤差的評定

求得基準平面后，就可進一步求解被測實際表面對基準平面的垂直度誤差。依定義，包容被測提取要素，并垂直于基準平面，且距離為最小的兩平行平面間的距離，即為垂直度誤差。如圖2所示。

設在被測提取要素測得一系列采樣點Mj（xj，yj，zj）（j=1，2，…，n）（n為測點數量），過各采樣點做與基準平面垂直的平面族。設該平面族的法向量為（A2，B2，C2），它與前述求出的基準平面成垂直關系，因此，兩平面的法向量成A1A2+B1B2+C1C2=0關系，即

而根據平面點法式方程，設過被測采樣點M1（x1，y1，z1）且垂直于基準平面的平面K的方程為

將式（2）代入式（3），得

求所有被測采樣點Mj（xj，yj，zj）到平面K的距離Ni為

目標函數F（A2，B2）={（Ni）max－（Ni）min}滿足最小化時，F（A2，B2）的（A2，B2）以及通過公式（2）的計算即可得被測包容面的法向量F（A2，B2，C2），且該二元函數F（A2，B2）的最小值即為垂直度誤差。因此垂直度誤差評定就轉化為求二元函數F（A2，B2）的最小值問題。

2 測量實例

筆者按前述的數學模型，利用MATLAB軟件，編寫了數據處理程序，并制作了友好界面，用戶只需輸入測點的數據，選擇評定方法，就可得到基準要素的平面度誤差值，以及被測要素的垂直度誤差，并繪出誤差圖形［2－4］。

表1 測量數據

在萬能工具顯微鏡上，用電感比較儀對圖l所示零件進行測量，測得采樣數據如表1所示。將測量數據輸入系統界面，選擇基準要素的評定方法，分別計算平面度及垂直度誤差。計算結果見表2所示。

表2 測量結果

最小條件法計算界面如圖3所示。界面左邊為測量數據輸入框，界面右側為基準及被測表面的實際折面圖。將實際折面圖放大并旋轉后得出，該圖形下方為基準要素，上包容面過最高點10、12兩點，下包容面過最低7、15兩點，均平行于基準平面。從平面度誤差最小區域判別準則上來看，該條件滿足交叉準則，見圖4所示。再從MATLAB的命令操作窗上再次證實:基準提取要素各采樣點到基準平面的距離r=（－4.233 7－4.234 2－4.231 4－4.231 1－4.234 1－4.232 8－4.234 6－4.234 0－4.231 6－4.229 2－4.229 6－4.229 2 －4.234 1 －4.230 5 －4.234 6 －4.232 4）×103，也可看出10、12 點最高，距離－4.229 2×103μm，7、15點最低，距離－4.234 6×103μm，兩者之差（4.234 6－4.229 2）×103μm=5.4 μm 即為平面度誤差。

該圖形左邊為被測要素，右包容面過最近點13點，左包容面過最遠8點。且都垂直基準平面。從命令窗上得到，被測提取要素各采樣點到平面K的距離r=0 －2.399 9 －3.799 8 －7.699 7 －2.966 7 －6.566 6－6.966 5 －8.666 3 －3.333 3 －5.533 2 －4.933 1 －7.033 0 －0.000 1 －6.699 9 －7.399 8 －8.099 7，第 1點過平面K，距離為0。最近點13點與最遠點8點的距離之差0.000 1－（－8.666 3）=8.666 4 μm，即為垂直度誤差。經過以上對本系統4種處理方法的驗證，結果都符合其建模原理。

3 結語

本文根據形狀和位置公差的國家標準，建立面對面垂直度誤差數學模型，利用數學軟件MATLAB，來實現面對面垂直度的自動處理。檢測人員只要從界面上輸入實驗測量數據，通過選擇所需要的處理方法后便可直接得出平面度及垂直度誤差值，并對測量表面進行三維顯示，可清楚地反映出被測量的幾何特征，及評定準則的應用情況，對計算結論進行驗證。具有操作簡單，數據處理速度快，不易出錯，計算誤差小，直觀明了等優點。尤其是在處理測點較多，數據處理繁瑣時，更能體現出它優越的運算功能。可有效提高高校實驗室、企業員工檢測中小型零件平面度、垂直度誤差的工作效率。

［1］中華人民共和國國家標準GB/T 1958—2004:產品幾何量技術規范（GPS）形狀和位置公差檢測規定［S］.北京:中國標準出版社，2005.

［2］張志涌.精通 MATLAB6.5版［M］.北京:航空航天大學出版社，2003.

［3］飛思科技產品開發中心.MATLAB 7基礎與提高［M］.北京:電子工業出版社，2005.

［4］［美］Gerald Recktenwald.數值方法和 MATLAB 實現與應用［M］.伍衛國，方群，張輝，等譯.北京:機械工業出版社，2002.