有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群

高振林， 李海沙

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 相關概念和問題

首先，給出渉及到的已有概念.

定義1［2］半群S上的Green關系L和R定義為

定義2［3］半群S上的Green＊＊－關系L＊＊和R＊＊定義為

（a，b）∈L＊＊當且僅當對?x，y∈S1（ax，ay）∈R?（bx，by）∈R

（a，b）∈R＊＊當且僅當對?x，y∈S1（xa，ya）∈L?（xb，yb）∈L令

J＊＊（a）＝其中，J（x）是由x生成的主理想；

L＊＊（a）＝∪｛L（x）｜x∈L＊＊（a）｝其中，L（x）是由x生成的主理想.

稱J＊＊（a）（L＊＊（a））為由元a生成的＊＊＿主理想（＊＊＿主左理想），用它引進的J＊＊－關系為

定義3［4］半群S的非零冪等元e稱為本原冪等元，若e是非零冪等元集中關于自然序的極小元.

定義4［4］如果半群S的所有冪等元都是本原的，則稱S是本原半群.

定義5［4］設I為S的非零左理想，則稱其為S的0－極小左理想，如果對S的任意非零左理想A?I，有A＝I并且I含零元.

定義6［1］稱S為wrpp半群，如果S滿足下列條件：

a.S的每個L＊＊－類至少含有S的一個冪等元；

b.對?a∈S，?e∈E（）有a＝ae，其中E（）為的冪等元集.

稱wrpp半群S為Cwrpp半群，若E（S）?C（S），其中E（S）是S的冪等元集，C（S）是S的中心.稱wrpp半群S為充足的，若對?a∈S，?｜a＋∈E（）使得a＝a＋a.稱充足wrpp半群S為左Cwrpp半群，若E（S）是左正則帶且L＊＊是同余.本文引進以下概念：

定義7 半群S上的同余ρ稱為S上的Cwrpp同余.如果S／ρ是 Cwrpp半群；令ρ是S上（Cwrpp）同余，如果存在S的子集I滿足S＝I∪C，且C同構于S／ρ則稱I是S的（Cwrpp）ρ－集，這時將ρ記作ρI.

定義8S為半群，如果S不包含任何Cwrpp同余，那么定義S的Cwrpp根同余是泛關系S×S，且稱S是Cwrpp根半群；如果S至少包含任何一個Cwrpp同余，那么定義S上的Cwrpp根同余是所有Cwrpp同余ρα（α∈ω）的交集，記作ρcr，即

如果ρcr也有ρcr－集，記為N（S），所以ρcr＝ρN（S）.稱N（S）為S的Cwrpp根；稱半群S的Cwrpp根同余ρcr是強Cwrpp根，若ρcr仍是S的Cwrpp同余，且N（S）存在.此時

定義9［5］假設N，T＊是不相交半群，T有零元0，T＝T＊∪｛｝0稱半群S是由T關于N的一個（理想）擴張，如果N是S的一個理想，且S／N?T.

定義10 稱I為半群S的（0－）＊＊－左（右）理想，若I為S的左（右）理想且對

這里（）是包含α∈S的L＊＊（R＊＊）－類；稱S的子集I為S的（0－）＊＊－理想，若I既為S的＊＊－左理想又為S的＊＊－右理想；稱S的子集I為理想（0－）＊＊－左（右）理想，如果I既是理想又是（0－）＊＊－左（右）理想.

定義11 有零元的半群S稱為左0－＊＊－單的，如果S的理想＊＊－左理想只有S或｛｝0且S2≠｛｝0；無零元的半群S＊稱為左＊＊－單的，如果它沒有真理想＊＊－左理想.

定義12 設S是wrpp半群，如果ρN（S）是強的且N（S）是理想，那么稱S為有強Cwrpp Rees根的wrpp半群；若S還是本原半群，則稱其為有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群.

引理1［4］一個0－單半群是完全0－單半群，當且僅當它至少有一個本原冪等元.

引理2［4］設e為半群S的本原冪等元，則Se是S的一個0－極小左理想.

引理3［4］S是單0－半群，L是S的0－極小左理想，那么L＼｝是S中極小非零L－類.

定理1［4］若S是有零元的本原正則半群，那么S是完全0－單半群的0－直并.由定義11易得以下結論.

引理4 在有零元的半群S上，下列命題成立：

a.S＊是左＊＊－單的，當且僅當J＊＊是S上的泛關系；

b.S是左0－＊＊－單的，當且僅當S2≠且，L＼｝是S的僅有J＊＊－類.

引理5［4］以下結論成立：

a.（R＊＊－關系）L＊＊－關系為任意半群S上的（左同余）右同余且在S上有下列式子成立：

b.設U是半群S的子半群，則LU?LS∩（U×U）；RU?RS∩（U×U）.

引理6 下列命題成立：

a.［3］有零元的Cwrpp半群C有半格分解表示

其中，（α∈Y）是左R－可消幺半群.

b.［1］在有零元的左Cwrpp半群S上，L＊＊＝J＊＊是S上半格同余.

引理7 設S為有強Cwrpp Rees根的wrpp半群，則

a.N（S）是wrpp半群；

b.N（S）＝∩α∈ω｛Iα｜對于?α∈w，Iα是S的wrpp子半群，Cwrpp理想｝；

c.設a∈S，則有冪等元且J＊＊（a）是S的wrpp理想＊＊－左理想.

證明 因S為有強Cwrpp Rees根的wrpp半群，所以

a.設a∈N（S）?S，因S是wrpp半群，故有e∈E（），使得a＝ae.因N（S）是S的理想，e∈E（）??L＊＊（a）?N（S），故?e∈E（N（S））使得aL＊＊N（S），a＝ae成立.故N（S）為wrpp半群.

b. 由 定 義 8 知N（S） ＝ ∩α∈ω是S的因N（S）是S的理想，故N（S）是S的最小Cwrpp理想.而命題b右邊的集合顯然也是S的最小Cwrpp理想，故它必等于N（S）.

c.由于S是wrpp半群，所以?e∈E（S）使得于是再證J＊＊（a）是S的wrpp理想＊＊－左理想：由于J＊＊（a）是由元a生成的＊＊－主理想，故J＊＊（a）既是S的理想又是其＊＊－左理想，故J＊＊（a）是S的理想＊＊－左理想.又由a的證明過程可知，J＊＊（a）是wrpp半群.綜上，J＊＊（a）是S的 wrpp理想＊＊－左理想.

基于以上定義和結論，我們應用有零元的Cwrpp半群C有半格分解表示 （即式 （1）），強Cwrpp Rees根性質和本原性質，用理想擴張的手段來刻畫有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群的結構特征.

2 有強Cwrpp Rees根的wrpp半群的性質

以下若不特別聲明，S總表示有強Cwrpp Rees根的wrpp半群.

性質1 設S是本原的，則

a.S的仼一子半群是本原的；

b.對0≠e∈E（S），a∈S，aL＊＊e當且僅當a≠0且a∈Se.

證明 結論b的證明類似于文獻［6］中推論3.2的證明，這里省略，只證結論a.

設T≤S，S是本原的，即?e∈E（S），e在S上是本原的，由于E（T）上自然序所以?e∈E（T），e在T上也是本原的，故T是本原的.

性質2 設a∈S，若J＊＊（a）是非零主理想＊＊－左理想集合中極小元，則J＊＊（a）＝∪｛｝0.

證明 顯然?J＊＊（a）.反之，設0≠x∈J＊＊（a），顯然J＊＊（x）?J＊＊（a），由J＊＊（a）是非零主理想＊＊－左理想集合中的極小元和引理7推出J＊＊（x）＝J＊＊（a），即x∈.因此J＊＊（a）＝∪｛｝0.

性質3 下列結論成立：

a.對?a∈S，J＊＊（a）＝∪｛Je｜e∈E）｝；

b.對?a∈S，L＊＊（a）＝∪｛Le｜e∈E）｝；

c.S的理想＊＊－左（右）理想I可表為I＝∪e∈E（I）J＊＊（e）.

證明S是有強Cwrpp Rees根的wrpp半群，所以

a.由J＊＊（a）定義：?e∈E（），有Je?（a），故∪｛Je｜e∈E）｝?J＊＊（a），另一方面，設0≠x∈J＊＊（a），由引理5、引理7，得

b.顯然∪｛Le｜e∈E（）｝?L＊＊（a）.另一方面，設0≠x∈L＊＊（a），S是wrpp半群，故?e∈E）使得

c.設T＝∪e∈E（I）J＊＊（e），可證T是S的理想.為此先證T為S的子半群

?a，b∈T?e，f∈E（I）使得a∈J＊＊（e），b∈J＊＊（f）而J＊＊（e）是S的理想，所以有ab∈J＊＊（e）?T.故T為S的子半群.又?a∈T，?f∈E（I）使得a∈J＊＊（f），由于J＊＊（f）為S的理想，故有?s∈S，as∈J＊＊（f）?T，sa∈J＊＊（f）?T，故T為S的理想.

再證T是S的＊＊－左理想：對a∈T，存在f∈E（I），使得a∈J＊＊（f）由于J＊＊（f）是S的理想＊＊－左理想，則?J＊＊（f），當然有?T，所以T是S的＊＊－左理想.綜上，T是S的理想＊＊－左理想.

最后證I＝T成立：由于I是S的理想＊＊－左理想，對?e∈E（I），J＊＊（e）?I，所以有T?I；設a∈I則存在e∈E（I）使得a∈，即有＝.又T是S的理想＊＊－左理想，故有＝?T，因此a∈T，所以I?T.綜上，I＝T.

性質4 對0≠e∈E（S），以下各條件等價：

（a）S1e是非零冪等元生成主左理想集合中的極小元；

（b）e是本原冪等元；

（c）S1e是0－極小＊＊－左理想；

（d）S1eS1是非零冪等元生成主理想集合中的極小元；

（e）S1eS1是左0－＊＊－單的.

證明 （a）?（c）由非零冪等元生成主＊＊－左理想集合被非零冪等元生成主左理想集合包含，即得該結論成立.

（c）?（a）設S1e是0－極小＊＊－左理想.若有f∈E（S）使得S1f?S1e，往證S1f也是0－＊＊－左理想：首先S1f是S的左理想，其次由于S是wrpp半群，那么?a∈S1f?S有h∈E（），＝，a＝ah∈S1h從而S1f?S1h同理可證S1h?S1f故S1h＝S1f于是有＝＝?S1f，由定義10，S1f是0－＊＊－左理想.由S1e是0－極小＊＊－左理想得S1f＝S1e.從而結論（a）成立.

（b）?（a）設e是S的本原冪等元，如果0≠f∈E（S），S1f?S1e那么f＝fe，因此efef＝eff＝ef，efe＝ef＝eef，即ef∈E（S），ef≤e.從而ef＝0或ef＝e.若ef＝0，則efe＝ef＝0從而推得.f＝f2＝fefe＝f·0＝0這與0≠f∈E（S）矛盾.因此ef＝e，S1f＝S1e.即（a）成立.

（a）?（b）如果（a）成立，設f∈E（S）使得f≤e，那么ef＝fe＝f，S1f?S1e.因為S1e是非零冪等元生成主左理想集合中的極小元，所以S1f＝S1e.故e∈S1f，e＝ef＝f成立.即（b）成立.

（b）?（d）設e是本原冪等元，假定，對0≠f∈E（S）有S1fS1?S1eS1，則有u，v∈S使得f＝uev.取元素g＝evfue，則g有性質

因此g是非零冪等元且g≤e.由于e是本原的，有g＝e.因為f＝ugv，g＝evfue，所以S1fS1＝S1gS1＝S1eS1.因此（d）成立.

（d）?（b）假定對某個0≠f∈E（S），f≤e成立.由ef＝fe＝f推 出S1f?S1e，從 而，S1fS1?S1eS1.由于S1eS1是非零冪等元生成主理想集合中的極小元，因此S1fS1＝S1eS1，從而對e∈S1有S1fe＝S1ee所以S1f＝S1e從而f＝e.（b）成立.

（d）?（e）顯然（S1eS1）2≠｛｝0，設｛｝0≠A是S1eS1的理想＊＊－左理想，下證A＝S1eS1.由性質3知，在S1eS1上，將A表示為A＝∪f∈E（A）J＊＊（f）.因A≠｛0｝，由 A的表示，故E（A）≠｛0｝，取0≠f∈E（A），則J（f）＝S1fS1?A?S1eS1，由S1eS1是非零冪等元生成主理想集合中的極小元得，A＝S1fS1＝S1eS1，由定義11知S1eS1是左0－＊＊－單的.

（e）?（d）設S1eS1是左0－＊＊－單的，則S1eS1的理想＊＊－左理想只有｛｝0和S1eS1，因此，由非零冪等元生成的主理想＊＊－左理想集合中只有S1eS1.假定對0≠f∈E（S）有S1fS1?S1eS1，則S1fS1是S1eS1的另－個非零理想＊＊－左理想，這與S1eS1是左0－＊＊－單的矛盾，即（d）成立.

性質5S是由它的某個Cwrpp子半群C關于Cwrpp根N（S）理想擴張，得到

且當S是本原半群時，有

a.C＊有依賴于本原半格Y的分解式（1）；

b.N（S）是S的理想＊＊－左理想且有不交并表示

其中，J＊＊（e）（?e∈∩α∈wE（Iα））是S的左0－＊＊－單子半群.

證明 由定義11和定義12知，只要證當S是本原半群時結論a，b成立.

a.由引理6知，C＊有半格分解式（1），由于S是本原的，由性質1知，C＊也是本原的，即?e∈是本原的，故Y為本原半格，因此C＊有依賴于本原半格的分解式（1）.

b.先證N（S）是S的理想＊＊－左理想，這只要證N（S）是S的＊＊－左理想：設a∈N（S），由引理5知，N（S）是S的理想得?L＊＊（a）?N（S），即N（S）是S的＊＊－左理想.

再證式（2）成立：由于N（S）是S的理想＊＊－左理想，由性質3知，N（S）可表示為N（S）＝∪e∈E（N（S））J＊＊（e），由引理7知，N（S）＝∩α∈ωIα，所以故式（2）成立.

最后證J＊＊（e）（?e∈∩α∈wE（Iα））是S的左0－＊＊－單子半群：設｛0｝≠A是J＊＊（e）的－個非零理想＊＊－左理想，由引理7，J＊＊（e）是wrpp半群，故

應用性質4（b）?（d）的證明得e＝f∈A.因｛0｝≠A是J＊＊（e）的－個非零理想＊＊－左理想，由e＝f∈A得A＝J＊＊（e），即J＊＊（e）是左0－＊＊－單的.

3 有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群的結構特征

下面給出有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群的一個結構特征，并用實例說明這類半群具有其獨特意義.

定理2 對于有強Cwrpp Rees根的wrpp半群S，以下條件等價：

（a）S是本原的；

（b）S是Cwrpp半群C關于N（S）的理想擴張，其中N（S）和C滿足條件：

（1）N（S）是本原wrpp左0－＊＊－單子半群的0－直并；

（2）C是本原wrpp左0－＊＊－單子半群的0－直并.

（c）S是本原wrpp左0－＊＊－單子半群的0－直并.

證明 （a）?（b）由性質5，設本原半群S是它的某個Cwrpp子半群C關于N（S）的理想擴張.只需證（1）（2）成立，現證（1）.由性質5知，J＊＊（e）是左0－＊＊－單的（?e∈∩α∈wE（Iα））.下證N（S）是J＊＊（e）（?e∈∩α∈wE（Iα））的0－直并.由于對?e，f∈∩α∈wE（Iα）

設x∈且y∈，那么. 因為

得J＊＊（xy）｛｝＝0或J＊＊（xy）＝J＊＊（e），J＊＊（xy）｛｝＝0或J＊＊（xy）＝J＊＊（f）.因此

綜上知，條件（1）成立.由性質5，用相同方法可證（2）成立.

（b）?（c）由（1）（2）和性質5式（2）知

由引理6，令E2＝｛1α｝α∈Y這里1α（α∈Y）為左R－可消幺半群＝（α∈Y）的幺元.令ˉE＝E1∪E2，由S＝N（S）知.于是

由結論（b）和以下亊實：

即使（c）成立.

（c）?（a）由題設條件不妨設S＝∪e∈ˉEJ＊＊（e）是本原wrpp左0－＊＊－單子半群J＊＊（e）的0－直并（e∈是冪等元），由性質4，e∈是J＊＊（e）的本原冪等元，且對 ?h∈J＊＊（e），h是J＊＊（e）的本原冪等元.往證結論（a）成立.

對?f∈E（S），設有α∈使得f∈J＊＊（α），只要證明f是S的本原冪等元即可，假設有0≠h∈E（S）使得h≤f，?β∈使得h∈J＊＊（β），分以下情形進行：

a.若J＊＊（α）≠J＊＊（β）則J＊＊（α）∩J＊＊（β）＝Φ，由題設條件得h＝fh＝hf＝0，不可.

b.若J＊＊（α）＝J＊＊（β）則f，h∈J＊＊（α），f，h是J＊＊（e）的本原冪等元，從而在J＊＊（α）上，由h≤f推得h＝f.

綜上所述，知f是S的本原冪等元，從而結論（a）成立.

最后給出有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群的例子以說明其獨特意義.

例1 設C＊是無零元的本原Cwrpp半群，C＝C＊∪｛｝0，C的半格分解由（引理6中）式（1）給出，則易見Y是本原半格.由引理6，設左Cwrpp半群N（見文獻［4］）有依賴于本原半格Y的半格分解N＝∪α∈Y.則有以下結論：

a.易知，E（N）包含由Y決定的子帶E1為

b.N是本原半群：事實上?e∈E（N）?α∈Y使得e∈E（），若有f∈E（N），f≤e則f∈E）（β∈Y），由于Y是本原半格，故f＝e，即e是本原的，所以N是本原半群.

c.N和C滿足條件（1）（2）：首先是本原wrpp左0－＊＊－單子半群，下證N和C是的0－直并：事實上，由于Y是本原半格，所以?α，β∈Y有α≤nβ?α＝β，從而有

所以，N和C是本原wrpp左0－＊＊－單子半群的0－直并.令

定義 從C＊到N的映射

可證θ是一個局部同態映射［6］：?x，y∈C＊，則存在α，β∈Y使得x∈Mα，y∈Mβ，不妨設x＝xα，y＝yβ則存在zαβ∈Mαβ，使得

在S上定義如下運算"°"：

則易驗證S成為C關于N的理想擴張半群.由定理2知，S是有強Cwrpp Rees根的本原wrpp半群.由于故S不是文獻［1］中的SBCRW－半群.說明這類半群有其獨特意義.

［1］Du L，Shum K P.On left Cwrpp semigroups［J］.Semigroup Forum，2003，67：373－387.

［2］Fountain J B.Abundant semigroups［J］.ProcLondon Math Soc，1982，44（3）：103－129.

［3］Tang X D.On a theorem of Cwrpp semigroup［J］.Communications in Algebra，1997，25：1499－1504.

［4］Howie J M.An introduction to semigroup theory［M］.London：Academic Press，1976.

［5］Clifford A H，Preston G B.The algebraic theory of semigroups［M］.Providence：American Mathematical Society，1961.

［6］Fountain J B.Adequate semigroups［J］.Proceedings of the Edinburgh MathematicalSociety，1979，22（1）：113－125.