帶有導數項非線性Schr?dinger方程行波解的存在性

楊林林， 孫宗玉， 魏公明

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

近年來，許多學者對非線性Schr?dinger方程行波解的性質進行了研究.如Floer等［1］利用Lyapunov－Schmidt方法對一維不含導數項的非線性Schr?dinger方程行波解的存在性進行了研究，隨后 Oh［2－5］將其結論推廣到高維情況；Ding等［6－7］和Rabinowitz［8］用變分法及山路引理證明了一類不含導數項的非線性Schr?dinger方程行波解的存在性，Wang［9］進一步證明了這些行波解的集中性.本文推廣了Floer等［1］的結論，證明了含一階導數攝動項的非線性Schr?dinger方程行波解的存在性和集中性，其中V，a（x）滿足條件：

a.V是R上的連續有界函數；

b.a（x）是R上收斂于0的連續有界函數且a（x）∈C2（R）；

c.a（0）＝a′（0）＝0

對 方 程 式 （1），找 其 形 式 為φ（x，t）＝exp（－iEt／h）v（x）的解，其中v是實函數，函數V，E滿足V－E＞0.將φ（x，t）代入式（1），得

不失一般性，假設γ＝m＝1，則

主要結論：

定理1 設x0是函數V的非退化臨界點，V，a（x）滿足上面的條件，則存在h0＞0使得對滿足0＜h＜h0的h，方程（2）有非零解；當h→0時，這些解關于x0越來越集中.

文中所使用的一些記號：

H＝H2（R，R），L＝L2（R，R）（H2，L2均 為Sobolev空間）；（，）為L2內積；

1 線性估計

其中，λ＝E－V（0），Vh＝Vh（y）＝V（hy），令

Sh（u）＝a（hy）u′，則式（3）化為

易知，當h→0時，a（hy）→a（0）＝0且Vh－V（0）在R的緊子集上一致收斂于0.對式（4）兩端取極限，得其形式極限為

所以，Sh（u）是S0（u）的一個攝動，且S0（u）＝0有兩個解

采用Lyapunov－Schmidt方法，定義uz，h（y）＝u0對足夠小的h＞0，找式（4）形式為uz，h＋φ的解.由Taylor’s展式知

若uz，h＋φ是式（4）的解，則Sh（uz，h＋φ）＝0.由 式 （6）知S′h（uz，h）φ＝ －Sh（uz，h）－Nz，h（φ），只需證明φ為－S′－1h（uz，h）（Sh（uz，h）＋Nz，h（φ））的不動點即可.

下面給出幾個重要引理和定理：

引理1［1］對任意的h＞0，函數Sh是光滑映射，且其Fréchet導數為

證明 由H1嵌入到H、H嵌入到L6（Sobolev空間）為連續嵌入及H和L的定義，引理得證.

記S′0（uz，h） 的 核 為Kz，h， 則Kz，h＝span｛u′z，h｝.記K⊥z，h為Kz，h在H上的L正交補，對于φz，h∈K⊥z，h∩H，定義π⊥z，h：L→K⊥z，h，Lz，h＝π⊥z，hS′h（uz，h）｜K⊥z，h∩H.

引理2［2］存在b＞0，對任意滿足V－E＞b＞0的E及u∈D（Hh），有

定理2 存在正實數γ，α1，h1，使得當時，有

證明 采用文獻［11－12］的方法，假設定理結論不成立，則存在收斂于（0，0）的序列（zi，hi）∈R×R＋及序列對每個i，有

考慮H中的序列

對每個i，由式（7）及式（9）知則可在H中選出子序列仍記為ψi，使得ψi弱收斂于ψ∞.又（ψi，u′0）＝0，故（ψ∞，u′0）＝0.

下證ψ∞＝0.定義線性算子

對R上的任意有界區間Ω，定義，則

對于Biu，有

由Hh－E的自共軛性及S′0（u0）u′0＝0知

所以

由（Vi－V0）u′0在R上一致收斂于0及的有界性知（（Vi－V（0））u′0，ψi）→0（i→∞）.由ψi弱收斂于0知由的有界性及ai→0（i→∞），得0（i→∞）.所以與式（12）矛盾.定理得證.

2 非線性估計

本部分主要證明，對z∈R和足夠小的h＞0，存在φz，h∈K⊥z，h，使得

由式（6）可知，式（13）等價于φz，h是Fz，h（φz，h）的不動點.

下證Fz，h（φ）在0的一個適當的小鄰域內是一個壓縮映射，由定理2知所以還需對作估計.

引理3［1］存在不依賴z和h的正數C，δ，對φ，φ′∈H，當時，有

其 中，v1，k3與h無 關.特 別 地，0（（z，h）→（0，0））.

證明 由S0（uz，h）＝0 可 得，Sh（uz，h）＝（Vh－V（0））uz，h＋a（hy）u′z，h.由

及

定理4 存在正常數D，α0，h0，使得對滿足的z和h，有唯一的H，使得

及

根據定理2，選取滿足h0≤h1，α0≤α1的h0，α0，使得時，下證Fz，h（φ）是從的壓縮映射，對，易知Fz，h且

即Fz，h（φ）是從到的映射.對于φ，φ′∈，有

3 主要結果的證明

定義函數sh：（－α0，α0）→R為

定理5 函數vh在［－1，1］上一致收斂到v0.

證明 由式（22）得

下面，對e1，e2，e3，e4進行估計.

由于e1＝ （u′z，h，（Vh－V（0）uz，h）＝－（uz，h，V′huz，h）－ （uz，h，（Vh－V（0）u′z，h），所以

對e4，有

由于v＜2，可選取足夠小的ε，使得當h→0，所有項趨于0，定理得證.

定理1的證明 由定理5知，對足夠小的h＞0，vh在（－1，1）上必有一零解.由vh的定義知（Sh（uz，h＋φz，h），u′z，h）＝ 0.由定理4知Sh（uz，h＋φz，h）∈Kz，h＝span｛u′z，h｝.綜上，當－hz＜z＜hv時，Sh（uz，h＋φz，h）＝0，故uz，h＋φz，h是式（3）的解.由構造過程知u（y）＝v（hy），uz，h且0（（z，h）→（0，0）），其中z∈（－h－v，hv），易知uz，h＋φz，h在平移量不超過hv－1的u0附近，故方程（2）的解集中在平移量及其微小的u0附近.

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