需求規模和采購成本雙擾動軍事物流博弈分析

李建民， 董 鵬， 孟慶霞

（1.武漢大學 系統工程研究所，武漢 430072；2.海軍工程大學 管理工程系，武漢 430033；3.荊楚理工學院 經濟管理學院，荊門 448000）

生活中經常會遇到諸如需求變化、物價上漲、承制商不能及時或中斷供應原材料、自然災害以及局部戰爭等突發性事件，不僅會造成艦艇部隊物資需求規模變化，也會使軍事物資采購中心的采購成本（包括緊急采購增加的運輸成本、儲存成本和人工成本等）發生變化，這將會直接影響供應鏈成員的管理決策，進而影響承制商的生產計劃，導致整個軍事物流系統運作失常或供應鏈不再協調.對于軍事物流系統中的決策者而言，當面臨需求規模和采購中心的采購成本同時擾動時，至今還沒有一個相對量化的標準.在供應鏈領域，Xu等［1－2］研究了非線性需求函數和生產成本為凸函數的情形下，需求發生擾動時，由一個供應商和一個零售商構成的供應鏈擾動管理問題及其協調機制.Yang等［3］考慮了生產函數為凸函數，當生產費用出現變動時，如何用擾動管理的方法修改原來的計劃，使系統能夠平穩運行且對生產存儲造成的影響最小.Tomlin［4］考慮了一個零售商和兩個供應商組成的供應鏈系統，其中一個供應商具有穩定的生產能力，另一個生產不穩定，當供應商的供應出現擾動時，給出了各種情況下的應急策略.Qi等［5］首次對需求擾動下的供應鏈協調問題進行了分析，在假設零售商面對的市場需求關于零售價格是線性函數的情形下，研究了當市場需求擾動時，供應鏈如何利用全單位數量折扣契約來協調應對.上述文獻考慮的都是單因素發生擾動，比如需求規模、生產成本等，而管理實踐中，突發性事件往往造成軍事物流系統兩個或兩個以上因素同時發生擾動，對于這種情況，目前來看文獻很少，而且也沒有進行系統的研究.本文在此基礎上，研究戰場形勢變化導致軍事物流需求規模和采購中心采購成本同時擾動的博弈問題，為決策者進行決策提供支持.

1 軍事物流需求規模和采購成本雙擾動模型

1.1 問題描述和假設

考慮一個承制商、一個軍事物資采購中心和n個艦艇部隊構成的供應鏈系統，它們之間的行為決策可用Stackelberg博弈來描述.在該博弈中采購中心占主導地位，決定著供應價格和供應量，艦艇部隊是跟隨者；承制商和采購中心基于對艦艇部隊的需求預測制定相應的生產計劃和采購計劃，如圖1所示［6－8］.當戰場形勢急劇變化后，艦艇部隊的物資需求規模發生變化，采購中心的采購成本也會變化.模型假設如下：

a.采購中心必須滿足艦艇部隊的需求量，承制商必須滿足軍事物資采購中心的采購量.

b.艦艇部隊i（i＝1，2，…，n）的實際物資需求量為qi，軍事物資供應價格為pi，qi為pi的線性遞減函數，設qi＝di－kpi.其中，di＞0為需求規模，k＞0為價格敏感系數（設為常數）.

圖1 三級供應鏈結構模型Fig.1 Three grade supply chain structure mode

c.承制商生產加工該產品的成本C（qi）是其生產數量的凸函數，如生產更多的產品時，需要投入一些員工加班費、通訊費、人員調整費等；若是外購，則外購部分的費用要比自己生產的成本高些.

d.采購中心的單位采購成本為cr，如運輸、儲存、裝卸搬運費用等.

Δdi，Δcr分別表示艦艇部隊需求規模和采購中心采購成本的變化量，只有當di＋Δdi＞0，cr＋Δcr＞0時才有意義.設為戰場形勢變化后艦艇部隊i的實際需求量為戰場形勢沒有發生變化時的最優需求量為戰場形勢變化后的物資供應價格，則

從式（2）可知，當Δqi＞0時采購中心應該采購更多的軍事物資來滿足新的需求，當Δqi＜0時有剩余物資.設m1表示必須重新購買新材料來增加產量所產生的單位額外成本，m2表示必須將多余材料以低于成本價出售來減少產量而遭致的單位額外成本，且m1，m2均是大于0的，（x）＋＝max｛0，x｝，則供應鏈渠道i收益函數可表示為

那么，整個供應鏈系統的收益函數可表示為

a.當Δdi≥kΔcr時，有

b.當Δdi≤kΔcr時，有

證明 假設當Δdi≥kΔcr時，有為式（3）最優解的充要條件是為式（4）的最優解.

當需求和采購成本不變時，供應鏈渠道i收益為：易驗證∏i（qi）為凹函數，當滿足下式時，供應鏈渠道i收益取得最大.

因C（qi）為凸函數，則C″（qi）＞0，C′（qi）為增函數，而又假設于是有C′（）＜0；結合已知條件Δdi≥kΔcr，km2＞0，則這與假設相矛盾，因此假設不成立.故當Δdi≥kΔcr時，有.同理可證引理1中的結論b.

引理1表明，當艦艇部隊需求減少而采購中心采購成本增加時，條件Δdi≤kΔcr一定成立，此時承制商應改變生產計劃，降低生產水平.當艦艇部隊需求增加而采購中心采購成本降低，條件Δdi≥kΔcr一定成立，此時承制商應增加生產水平來滿足艦艇部隊的需求，采購中心會為了保障供應采購更多的物資.當艦艇部隊需求和采購中心采購成本同時增加或同時降低時，承制商應根據引理1給定的條件來判斷生產計劃，采購中心應根據引理1給定的條件來決定其最優采購量.

1.2 分析與求解

a.當Δdi＝kΔcr時此時供應鏈渠道i收益函數可表示為求導式（7），可求得滿足供應鏈渠道i收益最大值時的最優解

相應的最優供應價格為

此時供應鏈渠道i最大收益為

由式（6）和式（8）可知，采購中心的最優訂貨量與需求規模正相關，與采購成本負相關，與承制商的邊際生產成本有關.供應價格與需求規模和采購成本正相關，需求量大，則價格上漲，同時如果采購成本增加，相應的價格也會上漲.在取得收益最大化之后，還要確定供應鏈收益的合理分配，一般可以通過各種契約和能力約束來實現整體利益的協調［9］.

b.當Δdi＞kΔcr時，有q—＊i＞q＊i，此時供應鏈渠道i的收益函數可簡化為

不考慮約束條件q—＊i＞q＊i，對式（10）進行分析可知道該函數存在唯一的最優解使收益最大，求導可得

式（11）減式（6）可得由C（qi）為凸函數，可知C′（qi）為增函數，并且有：

情況1 Δdi－kΔcr－km1≥0，當表明能最大化式（10），此時的最優解記為

相應的最優供應價格為

此時供應鏈渠道i的最大收益為

從式（13）～（15）可以看出，當Δdi－kΔcr－km1≥0時，艦艇部隊i的最優需求量和最大收益都受到需求規模和采購成本變化量的影響.

情況2 0＜Δdi－kΔcr≤km1，當≤q＊i不滿足約束條件≥q＊i時，由凹函數的性質知，在區間，∞］內，供應鏈渠道i收益函數的最大值為

相應的最優供應價格為

供應鏈渠道i的整體收益函數為

從式（16）～（18）可得，當0＜Δdi－kΔcr≤km1時，雖然需求規模和采購成本同時發生擾動，但是產品計劃產量并沒有發生變化，仍然是原來的q＊i，只是這時的供應鏈收益增加了，這是由于形勢變化導致供應價格上漲，從而帶來的收益增加，可以超過采購成本增加帶來的收益的減少；或者是采購成本減少帶來的收益的增加，可以超過因需求規模縮小、供應價格下跌而導致收益的減少.采購中心的最優訂貨量不受需求規模和采購成本的影響，仍保持原計劃采購量不變，即承制商在該情形下也不需要改變生產計劃.在該情形下，只要需求規模發生變化，其供應價格總是要作出相應的調整，且供應價格與需求規模的變化量正線性相關.由式（18）可知，在該情形下，供應鏈渠道i收益比原計劃收益要大.當Δdi≤kΔcr時，由引理1知，最優訂購量小于q＊i，此時供應鏈渠道i收益函數可表示為

在沒有任何約束的條件下，當滿足下式（20）時為式（19）的最優解.

式（20）減式（6），可得

同上，可分兩種情形來討論式（19）滿足約束條件q—＊i≤q＊i的最優訂貨量.

情況3 當－km2≤Δdi－kΔcr≤0時，

情 況 4 當 Δdi－kΔcr≤ －km2時，

現實中軍事物資的供應價格是不可能小于承制商的生產成本和采購中心的采購成本之和的，即對于任意的需求量qi＞0，總有pi－C′（qi）－cr－Δcr＞0，等價于di＋Δdi－k［cr＋Δcr＋C′（qi）］＞0.

1.3 博弈分析

當戰場形勢發生急劇變化，造成艦艇部隊需求規模變化了Δdi，采購中心的采購成本變化了Δcr，且承制商的生產成本是其生產數量的凸函數，為使整體收益達到最大，決策者需要適時調整最優訂貨量和采購成本.根據擾動的不同變化情況，訂購數量和供應價格分別為

決策者應該采取的策略為：在艦艇部隊需求規模和采購中心采購成本同時發生擾動的情況下，對原生產計劃和采購計劃有一定的魯棒性，當變化比較大時，超出了一定的范圍，才會調整計劃.當變化比較小（滿足－km2≤Δdi－kΔcr≤km1）時，保持原計劃不變.此時，只需要通過調整供應價格彌補擾動發生時帶來的偏差費用即可，此時供應價格只受需求規模的影響，隨著需求規模的增大而增大，而與采購成本無關.而對于供應價格，不管變化大或小，只要需求量發生了變化，則供應價格就要相應地作出調整.需求規模增加，供應價格上漲；需求規模減少，供應價格降低［10－11］.

2 算例分析

用一個簡單的例子說明上述結論.當戰場形勢變化導致di和cr同時擾動時，通過算例計算分析它們對供應鏈系統、采購中心和承制商收益的影響.設di＝200，cr＝20，k＝4，m1＝5、m2＝5，承制商的生產成本是需求量的凸函數，C（qi）＝q2i，可以根據價格需求關系算出q＊i＝12和p＊i＝47.但實際中往往是需求和采購成本同時增大或同時減小，因此僅對這兩種情況進行分析.對擾動情況按上文的情況1～4分類，結果如表1.

表1 di和cr的擾動對軍事供應鏈的影響Tab.1 Effect of diand crdisturbance on military supply chain

從表1中可以看出：

a.當需求和采購成本同時發生同方向的擾動時，在一定的條件下，并不會對原有的生產計劃和采購計劃產生影響，兩者之間存在著一種相互抗衡和制約的作用，即一者變化帶來的不利影響可以被另一者變化帶來的有利影響抵消或部分抵消，此時供應鏈的生產計劃保持不變，如表1中情況2和情況3的4種擾動情況.在該情形下，只需要適當地調整供應價格即可達到供應鏈的最優，且此時只有當需求規模發生變化時，才需要調整供應價格，供應價格隨需求規模的增大（減少）而上漲（減低）.

b.當需求和采購成本同時發生同方向的擾動時，并且兩者之間的關系超過一定的條件，如表1中情況1和情況4的4種擾動情況時，承制商的生產計劃和采購中心的采購計劃都要隨之進行調整，可通過增加訂購量且提高供應價格，或者減少訂購量且降低供應價格來達到供應鏈的最優.同時在情況1下，供應鏈的生產計劃必須作出調整，并且供應鏈的最優生產量、最優價格和最優利潤隨著需求規模的增大而增大，隨著采購成本的增加而增加.

c.從表1還可以看出，如果在需求和采購成本同時發生擾動時，策略不作調整，即使整個供應鏈的收益為正，承制商和采購中心可能也會因為自己單方面無利可圖（得到負的收益）退出供應鏈，從而使得雙方都失去盈利機會.

通過研究還發現，在不同的擾動情形下，供應鏈的最優訂購量、最優供應價格和供應鏈的最優利潤，與采購成本、需求規模及它們的擾動存在著一定的關系.當突發事件導致需求和采購成本同時發生不同方向的擾動，并且兩者之間的關系超過一定的條件時，如當采購成本增加和需求減少時，與穩定狀態時相比，承制商會通過減少生產來應對突發事件；當采購成本減少和需求增加時，承制商會通過增加生產來應對突發事件，引理1已證明之.

3 結 論

對其動態模型進行分析并得出在艦艇部隊需求規模和采購成本同時發生擾動時，原來生產計劃和采購計劃仍有一定的魯棒性，變化比較小時，保持原計劃不變，若超出一定范圍，才會調整計劃.計劃的改變取決于需求和采購成本兩種擾動的綜合作用.本文僅對單承制商、單采購中心、多艦艇部隊組成的三級供應鏈進行了研究，后續將考慮多承制商、多采購中心、多艦艇部隊時的情形，或者考慮需求函數為非線性需求或隨機需求時，研究多種擾動因素對供應鏈的影響；這些擾動因素之間的關聯關系及相互影響、變動的機理也是今后研究的方向.

［1］Xu M，Qi X，Yu G，et al.The demand disruption management problem for a supply chain system with nonlinear demand functions ［J］.Journal of Systems Science and Systems Engineering，2003，12（1）：82－97.

［2］Xu M，Gao X.Supply chain coordination with demand disruption sunder convex production cost function［J］.Wuhan University Journal of Natural Science，2005，10（3）：493－498.

［3］Yang J，Qi X，Yu G.Disruption management in production planning ［R］.Austin：The University of Texas，2005.

［4］Tomlin B.On the value of mitigation and contingency strategies for managing supply chain disruption risks［J］.Management Science，2006，52（5）：639－ 657.

［5］Xia Y，Yang J，Golany B，et al.Real－time disruption management in a two－stage production and inventory system ［J］.IIE Transactions，2004，36（1）：1－15.

［6］吳獻金，楊澤寰.成本和需求同時擾動的多零售商供應鏈協調［J］.湖南大學學報（自然科學版），2010，37（5）：88－92.

［7］羅云金.戰時軍事物流的博弈分析［D］.南京：南京理工大學，2009.

［8］馮花平.基于多因素擾動的供應鏈應急協調研究［D］.北京：北京郵電大學，2008.

［9］Huang C C，Yu G，Wang S，et al.Disruption management for supply chain coordination with exponential demand function［J］.Acta Mathematica Scientia，2006，26（4）：655－669.

［10］雷東，高成修，李建斌.需求和生產成本同時擾動時的供應鏈協調［J］.系統工程理論與實踐，2006，26（9）：51－59.

［11］Cachon G P，Lariviere M A.Supply chain coordination with revenue－sharing contract strengths and limitations［J］.Management Science，2005，51（1）：30－44.