巧用SPSS做均值向量檢驗(yàn)

石巖濤

0 引言

為了實(shí)現(xiàn)用SPSS軟件進(jìn)行單總體均值向量的檢驗(yàn)的目的，文[1]巧妙地運(yùn)用了SPSS軟件，成功地實(shí)現(xiàn)了對(duì)單總體均值向量的假設(shè)檢驗(yàn)。在檢驗(yàn)中，文[1]用到了SPSS運(yùn)行后的一個(gè)結(jié)果，該結(jié)果是被稱作F統(tǒng)計(jì)量的F值，再通過(guò)兩總體均值的比較與單總體均值向量的假設(shè)檢驗(yàn)間的Hotelling T2統(tǒng)計(jì)量T2、T1的關(guān)系轉(zhuǎn)換求得T1的值，再利用T2分布的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)了均值向量的檢驗(yàn)。文[1]的方法彌補(bǔ)了不能用SPSS軟件直接做多元均值檢驗(yàn)的缺憾。然而，均值向量的檢驗(yàn)是可以通過(guò)F-檢驗(yàn)法來(lái)實(shí)現(xiàn)的。如果在做均值向量的檢驗(yàn)時(shí)，有一種方法能夠更便捷地利用文[1]中得到的F值，那么，這種方法也更容易得到推廣。

1 F1與F 2關(guān)系式的理論推導(dǎo)

由文[2]、[3]可知，正態(tài)總體的多元均值檢驗(yàn)，是對(duì)假設(shè)

做檢驗(yàn)。

即

且：

而在兩總體均值比較的假設(shè)檢驗(yàn)中，若假設(shè)兩總體的協(xié)方差陣相等，則統(tǒng)計(jì)量：

其中，樣本 X、Y皆來(lái)自p維正態(tài)總體，即X～N(μ1,Σ )、Y～N(μ2,Σ ) ；n1,n2是樣本容量；協(xié)方差陣Σ的估計(jì)值：

其中，SX、SY為兩樣本的協(xié)方差陣；LX、LY是兩樣本離差陣。

當(dāng)n1=n,?n2=1時(shí)，隨機(jī)樣本Y就退化成一組觀測(cè)，此時(shí)，兩總體均值比較的假設(shè)檢驗(yàn)就可視作單總體均值向量的檢驗(yàn)，即：

而樣本離差陣：

將（5）式代入（4）式有：

將（6）式代入（3）式得：

即：

比較（1）、（7）兩式，可得：

由于在兩總體均值的比較的假設(shè)檢驗(yàn)中，有：

由（8）、（9）兩式及 n1=n,?n2=1的假設(shè)前提，有：

將（10）代入（8）式得：

將（11）式代入（2）式得：

由于F2的值是可以把對(duì)均值向量的檢驗(yàn)視作兩總體均值比較的問(wèn)題時(shí)而通過(guò)運(yùn)行SPSS得到，進(jìn)而通過(guò)（12）式求得F1，于是，均值向量的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題便可迎刃而解了。

2 利用新方法的多元均值檢驗(yàn)

[例]【4】人的出汗多少與人體內(nèi)鈉和鉀的含量有一定的關(guān)系，今測(cè)了20名健康成年女性的出汗多少（x1）、鈉的含量（x2）和鉀的含量（x3），其數(shù)據(jù)列于表1，假定x=(x1,x2,x3)'服從三元正態(tài)分布。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn) H0：μ=μ0=(4 ,50,10)'，H1：μ≠μ0

表1 成年女性出汗成分?jǐn)?shù)據(jù)

解：將表1的觀測(cè)數(shù)據(jù)看作是兩總體均值比較檢驗(yàn)的樣本X，即設(shè)n1=20，對(duì)應(yīng)的群組變量值設(shè)為1；設(shè)全國(guó)平均值 μ0=(1 7.5,?27.5,?5,?35)'為樣本 Y ，即 n2=1 ，且對(duì)應(yīng)的群組變量值設(shè)為2。然后，如文[1]那樣，在SPSS17.0中點(diǎn)擊“ Analyze→General Linear Model→Multivariate”，將x1、x2、x3選入“Dependent variebles”，將group選入“fixed factor(s)”中，點(diǎn)擊OK即可得到輸出結(jié)果（表2）。

表2 兩總體均值比較檢驗(yàn)表

在輸出結(jié)果中“Multivariate Tests”框中“Hotelling’s Trace”的F統(tǒng)計(jì)量的值為0.138，也即F2=0.138，將此F2值代入（12）式，得：

查F分布表知 F0.05(3,?17)=3.20

因?yàn)?F1=2.9＜3.20=F0.05(3,?17)

所以，在顯著性水平α=0.05情況下，接受原假設(shè)H 0。

通過(guò)本例可知，新方法對(duì)于運(yùn)用SPSS軟件進(jìn)行均值向量的檢驗(yàn)是比較理想的。

[1]程瑩,陳希鎮(zhèn).巧用SPSS進(jìn)行均值的假設(shè)檢驗(yàn)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2008,(18).

[2]何曉群.多元統(tǒng)計(jì)分析（第二版）[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008.

[3]方開(kāi)泰.實(shí)用多元統(tǒng)計(jì)分析[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，1989.

[4]王學(xué)民.應(yīng)用多元分析（第三版）[M].上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社,2009.