阿基米德Copula函數(shù)的擬合檢驗(yàn)

李述山

0 引言

Copula函數(shù)是連接隨機(jī)變量邊緣分布的累積分函數(shù)，描述了變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)[1][6]。運(yùn)用Copula技術(shù)來分析隨機(jī)變量間的相關(guān)性有很多優(yōu)點(diǎn)：一是Copula模型不限制邊緣分布的選擇，而且Copula函數(shù)有很多分布族；二是Copula模型可以將隨機(jī)變量之間的相關(guān)程度和相關(guān)模式有機(jī)地結(jié)合在一起，不僅可以得到度量相關(guān)程度的相關(guān)參數(shù)，還可以得到描述相關(guān)模式的Copula函數(shù)，因此可以更全面地刻畫隨機(jī)變量間的相關(guān)關(guān)系，如Kendall的τ、上尾相關(guān)系數(shù)與下尾相關(guān)系數(shù)等。因此，在金融資產(chǎn)間的相關(guān)性分析、金融資產(chǎn)及資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、可靠性評(píng)估等方面得到了廣泛應(yīng)用。

常用的Copula函數(shù)總體可以分為橢圓型copulas和阿基米德copulas，而每一族又分為許多具體的連接函數(shù)類。不同的copula有不同的性質(zhì)，橢圓copula函數(shù)族具有對(duì)稱的尾部相關(guān)性，這與金融數(shù)據(jù)的厚尾分布相違背。阿基米德copula函數(shù)族具有以下特性：構(gòu)建且計(jì)算簡(jiǎn)單，多種不同的copula都?xì)w屬于這個(gè)函數(shù)族中；對(duì)數(shù)收益率的相關(guān)性結(jié)構(gòu)符合阿基米德copula分布[2]。在運(yùn)用阿基米德Copula研究實(shí)際問題的過程中，有一個(gè)重要問題就是阿基米德Copula函數(shù)的選擇。要選擇能正確描述變量間相關(guān)結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)，我們就必須對(duì)阿基米德Copula函數(shù)的擬合度進(jìn)行評(píng)價(jià)，即對(duì)所選擇的Copula函數(shù)進(jìn)行擬合檢驗(yàn)。

本文擬介紹阿基米德Copula已有的兩種檢驗(yàn)方法，并建立新的檢驗(yàn)方法，通過進(jìn)行模擬檢驗(yàn)，說明新檢驗(yàn)法的優(yōu)良性。

1 阿基米德Copula函數(shù)擬合檢驗(yàn)的兩種常見檢驗(yàn)方法

1.1 基于Rosenblatt積分變換的K-S檢驗(yàn)法

定理1[3]令 X=(X1,X2,…,Xd)為一隨機(jī)向量，記T(x)=(T1(x1),T2(x2),…,Td(xd))

其中:

則 T1(X1),T2(X2),…,Td(Xd)相互獨(dú)立，皆服從U(0,1)。

推論1[1]設(shè)隨機(jī)向量(U,V)的邊緣分布皆為(0,1)上的均勻分布，聯(lián)合分布函數(shù)為阿基米德copulas C(u,v;θ)，生成元為 φ(t;θ)，則 C1(U,V;θ)～U(0,1)，且與U 獨(dú)立，其中 C1(u,v;θ)=φ'(u;θ)/φ'(C(u,v;θ);θ)。

由推論 1 可知，假設(shè)檢驗(yàn)問題 H0:(U,V)～C(u,v;θ?)可轉(zhuǎn)化為假設(shè)檢驗(yàn)問題：

H0:C1(U,V;θ?)～U(0,1) 對(duì) H1:C1(U,V;θ?) 不 服 從U(0,1)

該假設(shè)檢驗(yàn)問題常采用如下的K-S檢驗(yàn)法：

設(shè)(U,V)為二維隨機(jī)向量，U,V～U(0,1)，連接函數(shù)為 C(u,v;θ)，(ui,vi),i=1,…,n 為來自 (U,V)的樣本（觀 察 值），記 wi=C1(ui,vi;θ?),i=1,…,n ， Fn(x)為wi,i=1,…,n相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，取作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)檢驗(yàn)水平α，當(dāng)Dn＞Dn(α)時(shí)拒絕原假設(shè)。

稱該檢驗(yàn)法為基于Rosenblatt積分變換的K-S檢驗(yàn)法。

1.2 基于copula變換與概率積分變換的K-S檢驗(yàn)法

定理2[1]設(shè)隨機(jī)向量(U,V)的邊緣分布皆為(0,1)上的均勻分布，聯(lián)合分布函數(shù)為阿基米德copulas C(u,v;θ)，生成元為 φ(t;θ)，則（1）C(U,V;θ)的分布函數(shù)為 KC(t;θ)=t- φ(t;θ)/φ'(t+;θ)；（2）Kc(C(U,V;θ);θ)～U(0,1)；（3）設(shè) (Ui,Vi),i=1,2,…,n為來自 (U,V)的樣本，記KC(C(Ui,Vi;θ);θ),i=1,2,…,n ，則 Wi,i=1,2,…,n 相互獨(dú)立且皆服從(0,1)上的均勻分布。

由定理 2 可知，假設(shè)檢驗(yàn)問題 H0:(U,V)～C(u,v;θ?)可轉(zhuǎn)化為假設(shè)檢驗(yàn)問題：

H0:Kc(C(U,V;θ?); θ?)～U(0,1) 對(duì) H1:Kc(C(U,V;θ?);θ?)不服從 U(0,1)

該假設(shè)檢驗(yàn)問題常采用如下的K-S檢驗(yàn)法：

設(shè)(U,V)為二維隨機(jī)向量，U,V～U(0,1)，連接函數(shù)為C(u,v;θ)，(ui,vi),i=1,…,n為來自(U,V)的樣本（ 觀 察 值 ），記 wi=KC(C(ui,vi;θ?); ?θ??),?i=1,2,…,n ，F(xiàn)n(x)為 wi,i=1,…,n相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，取作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)檢驗(yàn)水平α，當(dāng)Dn＞Dn(α)時(shí)拒絕原假設(shè)。

稱該檢驗(yàn)法為基于copula變換與概率積分變換的K-S檢驗(yàn)法。

2 阿基米德Copula函數(shù)擬合檢驗(yàn)的兩種新方法

2.1 基于一種函數(shù)變換的K-S檢驗(yàn)法

定理3[1]設(shè)隨機(jī)向量(U,V)的邊緣分布皆為(0,1)上的均勻分布，聯(lián)合分布函數(shù)為阿基米德copula C(u,v;θ)，生 成 元 為 φ(t;θ) ，記 S=φ(U;θ)/(φ(U;θ)+φ(V;θ)) ，T=C(U,V;θ)，則：

（1）(S,T)的聯(lián)合分布函數(shù)為：

（2）S～U(0,1)且S與T獨(dú)立。

由定理3可以知道，S(θ)=φ(U;θ)/(φ(U;θ)+φ(V;θ))～U(0,1)，因此假設(shè)檢驗(yàn)問題 H0:(U,V)～C(u,v;θ?)可轉(zhuǎn)化為假設(shè)檢驗(yàn)問題：

H0:S(θ?)～U(0,1) 對(duì) H1:S(θ?)不服從 U(0,1)

該假設(shè)檢驗(yàn)問題可以采用K-S檢驗(yàn)法，稱為基于一函數(shù)變換的K-S檢驗(yàn)法。

2.2 基于隨機(jī)向量變換的χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法

推論2設(shè)隨機(jī)向量(U,V)的邊緣分布皆為(0,1)上的均勻分布，聯(lián)合分布函數(shù)為阿基米德copulas C(u,v;θ)，生成 元 為 φ(t;θ) ，則 S(θ)=φ(U;θ)/(φ(U;θ)+φ(V;θ)) 與W(θ)=KC(C(U,V;θ);θ)獨(dú)立，且皆服從 (0,1)上的均勻分布。

由推論 2 知，假設(shè)檢驗(yàn)問題 H0:(U,V)～C(u,v;θ?)可轉(zhuǎn)化為假設(shè)檢驗(yàn)問題：

H0:(S(θ?),W(θ?)) 服從 (0,1)2上均 勻分 布 對(duì) H1:(S(θ?),W(θ?))不服從 (0,1)2上均勻分布。

對(duì)該問題我們采用與文[7]類似的χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法：設(shè)(U,V)為二維隨機(jī)向量，U,V～U(0,1)，連接函數(shù)為C(u,v;θ)，(ui,vi),i=1,…,n為來自(U,V)的樣本（觀察 值 ） ，記 xi= φ(ui;θ?)/(φ(ui;θ?)+ φ(vi;θ?)),yi=KC(C(ui,vi;θ?);θ?),i=1,2,…,n 。將 (0,1)2均勻分割成 m× m個(gè) 單 元 格 G(i,j)，i,j=1,2,…,m ，記 nij為(xi,yi),i=1,2,…,n落入單元格G(i,j)內(nèi)的頻數(shù)，則在原假設(shè)H0成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從自由度為 m2-1的 χ2分布。對(duì)檢驗(yàn)水平 α，當(dāng)M＞χ2α(m2-1)時(shí)拒絕原假設(shè)。

稱該檢驗(yàn)法為基于隨機(jī)向量變換的χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法。

3 模擬檢驗(yàn)與分析

本文選用二元Clayton Copula與二元Gumbel Copula以考察4種檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)效果。

針對(duì)二元Clayton Copula與二元Gumbel Copula（分布函數(shù)記為C(u,v;θ)，在參數(shù)真值為θ=5下分別隨機(jī)產(chǎn)生C(u,v;θ)的2000個(gè)樣本，參數(shù)估計(jì)值為設(shè)定的7個(gè)值：θ?=4.0,4.5,4.7,5.0,5.3,5.5,6.0 ，采用以上4種檢驗(yàn)方法分別在檢驗(yàn)水平0.05、0.01下進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)問題為：H0:(U,V)～C(u,v;θ?)對(duì) H1:(U,V)不服從分布 C(u,v;θ?)

共進(jìn)行模擬檢驗(yàn)100次，記錄接受原假設(shè)的次數(shù)，結(jié)果見表1、表2。

表2 Gumbel Copula的模擬檢驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論與分析

本文首先介紹了已有的兩種檢驗(yàn)方法：基于Rosenblatt積分變換的K-S檢驗(yàn)法與基于copula變換及概率積分變換的K-S檢驗(yàn)法，進(jìn)一步建立了兩個(gè)新的檢驗(yàn)方法--基于一種函數(shù)變換的K-S檢驗(yàn)法與基于隨機(jī)向量變換的χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法，并進(jìn)行了模擬檢驗(yàn)，從模擬檢驗(yàn)的過程及結(jié)果，可得如下分析及建議。

（1）四種檢驗(yàn)法只適用于二元阿基米德copulas的檢驗(yàn)，不能用于多元阿基米德copulas的檢驗(yàn)。

（2）從表1與表2的檢驗(yàn)結(jié)果可以看出：①基于Rosenblatt積分變換的K-S檢驗(yàn)法與基于一種函數(shù)變換的K-S檢驗(yàn)法效果相近，但基于一種函數(shù)變換的K-S檢驗(yàn)法更為直接、簡(jiǎn)單；②基于隨機(jī)向量變換的χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法最嚴(yán)格，且檢驗(yàn)結(jié)果符合實(shí)際，原因是該檢驗(yàn)法利用了樣本的全部信息，不僅對(duì)變換后的邊緣分布而且對(duì)獨(dú)立性進(jìn)行了檢驗(yàn)；③基于copula變換與概率積分變換的K-S檢驗(yàn)法效果較差，究其原因，是因?yàn)樵摍z驗(yàn)法只是利用了樣本的部分信息。

（3）鑒于如上兩點(diǎn)，我們認(rèn)為不宜采用基于copula變換與概率積分變換的K-S檢驗(yàn)法。

[1]Nelsen RB.An Introduction to Copulas[M].New York:Springer,1999.

[2]JOE H.Multivariate Models and Dependence Concepts[M].London:Chapman and Hall,1997.

[3]Rosenblatt M.Remarks on a Multivariate Transformation[J].Annals of Mathematical Statistics,1952,(23）.

[4]Fermanian JD.Goodness-of-fit Tests for Copulas[J].Journal of Multi?variate Analysis,2005,(95).

[5]Genest C,Rivest L.Statistical Inference Procedures for Bivariate Ar?chimedean Copulas[J].Journal of the American Statistical Associa?tion,1993,(88).

[6]張堯庭.連接函數(shù)(Copula)技術(shù)與金融風(fēng)險(xiǎn)分析[J].統(tǒng)計(jì)研究，2002，(4).

[7]李述山.Copula函數(shù)擬合檢驗(yàn)的一種新方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2010,(24).