時間偏好動態不一致與社會養老保險研究

劉建穎

0 引言

公共養老保障具有三個主要功能：首先，它是一種強迫個體進行儲蓄的承諾機制；其次，它實現了老年人之間的收入再分配；再次，它確保了個體能抵御健康和死亡風險。對退休行為的研究是伴隨著現代社會保障體系的建立開始的。退休從本質上看，就是個體永久地退出勞動力市場。它可分為自愿退休與非自愿退休兩種情況。對于個體而言，自愿退出勞動力市場總是一個可行的選擇。

本文將詳細分析存在社會養老保險時，時間偏好動態不一致情形下，退休年齡內生時的兩期模型。筆者期望通過將時間偏好動態不一致性引入對社會養老保險的分析，重新考察個體跨期決策中退休行為的決定，試圖得到個體跨期決策的時間不一致性是能夠解釋觀察到的退休行為的異常性的；引入時間偏好的動態不一致可能有助于對政府未來的改革政策的有效性進行相關預測。

1 模型的基本假設

我們在Cremer和Pestieau(2003)關于退休年齡內生時的兩期模型的分析框架下引入時間偏好動態不一致，期望對時間偏好動態不一致情形下，養老保險制度如何影響經濟中真實的宏觀經濟變量有所認識。

假設時間偏好的動態不一致不僅在代際間存在，在代際內也存在。假設偏好為擬雙曲貼現偏好。根據Frederick et al.(2002)，將具有時間不一致性的個體區分為兩種類型：老練型個體和天真型個體。

假設每個人都存在著“自我控制”問題，用β表示，但當事人意識到的“自我控制問題”的程度為，即個體認為自身在將來會遇到“自我控制問題”的程度為。這兩種類型的個體在進行效用最大化選擇時，情形如下：

(1)老練型個體，能完全意識到自身存在“自我控制”問題，并能準確地預測自己將來的行為。有β=β?＜1。

(2)天真型個體，完全不能意識到自身存在的“自我控制”問題，因而會錯誤地預測將來的行為；有β＜β?=1。

假設個體生活兩期：年輕期和年老期。兩期的長度均標準化為1。年輕時，也就是第一期，個體的勞動供給是無彈性的。年老時，也就是第二期，勞動供給內生決定。這是一個具有內生勞動供給和內生退休年齡的跨期消費模型。

假設個體的勞動生產率ω是隨機的，其累積分布函數為F(?)，密度函數為 f(?)。養老保險體系一般通過征收收入稅的形式來平衡預算。我們假設第一期工資稅稅率為θ，第二期養老保險稅稅率為θ′，其中θ,θ′∈( )0,1。年輕時（第一期），個體決定儲蓄的數量s，s僅能在退休后才能獲得收益。定義r為外生利率水平。假設人口增長率為n，它是外生給定的。記Lt-1為t期時的老年人，Lt為t期時的年輕人，且Lt=Lt-1?(1+n)。年老時（第二期），個體決定最優退休年齡。假設γ為第二期時的工作長度，其中γ∈( )0,1，則1-γ為退休期長度。由于第二期的長度已標準化為1，我們在下文中為敘述方便起見，不妨也稱γ為最優退休時刻（或最優退休年齡）。

年輕期（第一期），個體的勞動生產率為ω，工作時間為1，所以其工資收入為ω，繳納工資稅ωθ，稅后工資收入一部分用來儲蓄，一部分用來消費。

年老期（第二期），個體的勞動生產率為ω，工作時間為γ，所以其工資收入為ωγ，繳納養老保險稅ωγθ′，則第二期的稅后收入為ωγ(1-θ′)。年老時（第二期），個體在年輕期（第一期）的儲蓄收入變為s(1+r)，個體退休后獲得養老金收益b。同時假設個體在年老時（第二期）因工作時長γ會有一（用貨幣度量的）負效用--gγ（其中A＞0,g＞0）。它表明年老時（第二期）工作時間γ越長，損失的效用越大。假設個體退休后會從休閑中獲得正效用+h(1-γ)（其中 B＞0,h＞0），它表明退休期長度(1-γ)越大，從休閑中獲得的正效用越大。

假設個體在年輕期（第一期）和年老期（第二期）的消費水平分別為c1和c2，個體的跨期效用函數為U=u(c1)+βδ?u(c2)，其中β代表時間偏好不一致的短期貼現因子，δ代表時間一致的長期貼現因子(β＞0,δ＞0)。這表明個體在代際間存在著時間偏好的動態不一致性。假設u為即期效用函數，對所有個體均一樣，它是遞增的凹函數，滿足古典的Inada條件。

于是個體在年輕期（第一期）時的消費水平為c1=ω(1-θ)-s，在年老期（第二期）時的消費水平為ωγ(1-θ′)+s(1+r)+b ，個體在第二 期的 效用 水平 為

假設養老金收益函數為

養老金收益b必須在個體退休后才支付。也就是說，個體必須真實地完全退出勞動力市場后，才能獲得養老金收益b。由=ωθ′＞0可看出，退休后獲得的養老金收益b與退休時刻γ正相關。即個體工作時間越長，退休后獲得的養老金收益越多；個體工作時間越短，退休后獲得的養老金收益也相應變少。在第3節中，個體退休后獲得的養老金b與退休時刻γ無關；但在本節中，我們引入了時間偏好的動態不一致，個體退休后獲得的養老金收益b與退休時刻γ正相關。

2 最優退休年齡

年輕期（第一期），個體的最優化問題為

其中：

于是個體在第一期時通過選擇最優儲蓄量s，最大化如下目標函數：

年老期(第二期)，個體在代際內存在著時間偏好的動態不一致性。老年個體面臨著如下權衡取舍關系：一方面，現在若繼續工作，則能在未來獲得更多養老金，但同時也會有一工作時的負效用--gγ ；另一方面，若現在立即退休，則可以享受更多的閑暇，獲得正效用但其退休后獲得的養老金收益b也會減少。

個體在代際內存在的時間偏好動態不一致性使得個體對工作期賦予更多的權重；老年個體在評估上述權衡取舍關系中后者時，使用了貼現因子βδ。

個體在年老期（第二期）時，通過選擇最優退休時刻γ*來最大化第二期消費。個體在年輕期（第一期）做優化問題時，考慮到退休時刻γ由第二期決定，γ=γ*；選擇最優儲蓄水平s最大化第一期的目標函數。

下面我們先來求解第二期的最優化問題。年老期（第二期），個體的最優化問題為

個體通過選擇最優退休時刻γ，最大化上述目標函數。

將b=ωθ(1+n)+ωγθ′代入目標函數，得到

關于γ的一階條件為：

可求得

假設內點解條件滿足，如A-Bβδ＞0。

由比較靜態分析，易知

下面我們通過解釋相應的經濟學含義，可以看到引入時間偏好的動態不一致性后，影響個體最優退休時刻γ*的相關因素。

由?γ*?ω＞0可知，最優退休時刻γ*是關于個體勞動生產率ω的增函數。即個體的勞動生產率ω越高（工資水平越高），他會選擇工作更長時間并更晚退休。因此工資水平高的個體相對于工資水平低的個體會工作更長時間，更晚退休。從經濟學直覺上理解，對于相對富裕的個體而言，其第二期的消費——休閑的相對價格要低一些，因此會比相對貧窮的個體更加努力工作并更晚退休。由?γ*?β＞0可知，時間不一致性貼現因子β越大，最優退休時刻γ*也越大。在時間偏好動態不一致情形下，0＜β＜1表示時間偏好動態不一致的個體對當前期賦予更大的權重，其偏好類型是當前偏好型的。β越大，表示個體對未來越看重，此時最優退休時刻γ*也越大，個體越傾向于更晚退休；β越小，表示個體對當前期越看重，此時最優退休時刻γ*也越小，個體越傾向于提前退休。

老練型個體，能完全意識到自身存在的時間偏好動態不一致性問題，并能準確地預測自己將來的行為。有β=β?＜1。老練型個體真實的退休時刻為 γ(β )，預測的退休時刻為 γ(β?)；由 β=β?知，γ(β)=γ(β?)=γ*，老練型個體能正確預測其真實退休時刻；

天真型個體，完全不能意識到自身存在的時間偏好動態不一致性問題，因而會錯誤地預測將來的行為；有β＜β?=1。天真型個體真實的退休時刻為 γ(β )，預測的退 休 時 刻 為 γ(β?)；由 β＜β?及 ?γ*?β ＞0 可 知 ，γ*=γ(β)＜γ(β?)，因此天真型個體會高估其真實退休時刻。由?γ*?θ′＜0可知，最優退休時刻γ*是關于養老保險稅稅率θ′的減函數。即養老保險稅稅率θ′越高，個體越傾向于提前退休。

由 ?2γ*?θ′?ω＜0 可知，個體的勞動生產率 ω 越高（工資水平越高），養老保險稅稅率θ′對最優退休年齡γ*的影響更顯著。

進一步地，我們有如下定理。

定理1在時間偏好動態不一致的兩期模型中，老練型個體和天真型個體都會提前退休（即提前退出勞動力市場）。

證明：老練型個體，能完全意識到自身存在的時間偏好動態不一致性問題，并能準確地預測自己將來的行為。有β=β?＜1，其中β為個體真實的時間偏好動態不一致的貼現因子；β?為其預測的時間偏好動態不一致的貼現因子。于是有即老練型個體真實的退休時刻γ()β和預測的退休時刻γ()是完全一致的。

由 ?γ(β) ?β ＞0 可知，γ(β)=γ(β?)＜ γ(1)。

這表明時間偏好動態不一致情形下，老練型個體的實際退休年齡要小于時間偏好一致性情形下個體的退休年齡。即老練型個體會提前退休。

天真型個體，完全不能意識到自身存在的時間偏好動態不一致性問題，因而會錯誤地預測將來的行為。

有β＜β?=1，其中β為個體真實的時間偏好動態不一致的貼現因子；β?為其預測的時間偏好動態不一致的貼現因子。

天真型個體預測的退休時刻為

=(ω (1-θ′)+δ(ω θ′-B-h)-g ) (A-Bδ)=γ(1)

由 ?γ(β) ?β ＞0 可知，γ(β)＜ γ(β?)=γ(1)

即天真型個體真實的退休時刻γ()β小于其預測的退休時刻γ()。

天真型個體實際的退休時刻為

這表明時間偏好動態不一致情形下，天真型個體的實際退休年齡要小于時間偏好一致性情形下個體的退休年齡。即天真型個體會提前退休。

綜上，時間偏好動態不一致情形下，老練型和天真型個體都會提前退休。

3 養老金收益

定理2在時間偏好動態不一致的兩期模型中，老練型個體退休后實際獲得的養老金數額等于其預計獲得的養老金數額；天真型個體退休后實際獲得的養老金數額小于其預計獲得的養老金數額。

證明：養老金收益水平為：

個體實際獲得的養老金收益是根據其實際退休年齡來進行支付的，個體預計獲得的養老金收益是根據其預計的退休年齡來進行計算的。

4 最優儲蓄量

個體在年輕期（第一期）做優化問題時，考慮到退休時刻γ由第二期決定，γ=γ*；選擇最優儲蓄水平s*來最大化第一期的目標函數。

個體在第一期時的最優化問題為

其中

關于s的一階條件為：

上式意味著，減少一單位工作期消費所造成的效用損失等于增加(1+r)單位退休期消費得到的被βδ2貼現后的效用增加。

將上式對β求導，得到

于是有

由 u′(c1)=βδ2(1+r)?u′(c2)可以看到，若 δ(1+r)=1 成立，則有

于是c1＞c2。

可見，在時間偏好動態不一致情形下，無論是老練型個體，還是天真型個體，他們都不能平滑消費，年輕時會過度消費。我們可以這樣來理解：在時間偏好動態不一致情形下，0＜β＜1表示時間偏好動態不一致的個體對當前期賦予更大的權重，其偏好類型是當前偏好型的。此時個體更看重當期消費，于是年輕期（第一期）會過度消費而儲蓄不足。

進一步地，我們有如下定理：

定理3在時間偏好動態不一致性下，經濟中的一個帕累托改進是：延長個體的退休年齡或提高其年輕期的儲蓄水平。

證明：個體的效用水平為：

定義：?(β)=U(γ (1))-U(γ ( β))

則有：?(1)=U(γ (1))-U(γ (1))=0

將函數?(β)在β=1的鄰域附近泰勒展開，有?′(1)=0，?″(1)＞ 0 。

于是存在區間(βˉ,1) ，使得該區間內 ?(β)＞0 。這表明若將個體的真實退休時刻從γ(β)增加到γ(1)，其效用水平將會提高。這說明，對經濟中個體而言，提前退出勞動力市場并不是一個好的選擇。在帕累托意義上，若能延長個體的退休年齡，對其將是一個帕累托改進。

定義：ξ(β)=U(s ( 1))-U(s ( β))

則有：ξ(1)=U(s ( 1))-U(s ( 1))=0

將函數 ξ(β)在 β=1的鄰域附近泰勒展開，有 ξ′(1)=0，ξ″(1)＞ 0 。

5 結論

本文將代際間和代際內的時間偏好動態不一致引入退休年齡內生時的兩期模型，得出經濟中的老練型個體和天真型個體都會提前退休（即提前退出勞動力市場）。這些結論和現實中觀察到的老年人越來越傾向于提早退出勞動力市場也是相符的。戰后，絕大多數實行養老保險體系的國家，都出現了老年人口勞動參與率持續下降的現象。老年人越來越傾向于提早退出勞動力市場的現實情況，伴隨著老年人口健康狀況的改善和預期壽命的提高一同出現，意味著個體越來越傾向于作出提早退休的決策。而伴隨著老年人越來越傾向于提早退休的是養老保險體系的不斷完善與覆蓋面的不斷擴大，這意味著二者之間存在著一定的聯系。本文從時間偏好動態不一致的角度，分析了養老保險對個體退休決策的影響。

[1]Cremer,H.,Pestieau P.The Double Dividend of Postponing Retire?ment[J].International Tax and Public Finance,2003,(10).

[2]Diamond,P.,Koszegi,B.Quasi-Hyperbolic Discounting and Retire?ment[J].Journal of Public Economics,2003,(87).

[3]Frederick,S.,Loewenstein,G.,O’Donoghue,T.Time Discounting and Time Preference:A Critical Review[J].Journal of Economic Literature,2002,(40).

[4]Laibson,David Golden Eggs and Hyperbolic Discounting[J].Quarterly Journal of Economics,1997,(112).