一類非線性Jerk方程的改進兩變量展開法

鄭敏毅，張 農(nóng)，孫光永

(湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

非線性Jerk方程是位移具有三階導數(shù)含有三次非線性項的微分方程。該方程可以描述一些非線性物理問題，例如:三階力學振子模型[1]。近來已有很多學者對非線性Jerk方程的近似周期解的研究非常感興趣[2－6]。Gottlieb[2]用低階諧波平衡法探討了非線性Jerk方程的近似周期解，但是得到的低階近似解在參數(shù)比較大時精度不高。我們很難通過諧波平衡法得到非線性Jerk方程的高階近似解，這是由于用諧波平衡法求解Jerk方程的高階近似解過程中需要計算非常復雜的非線性代數(shù)方程組。Wu等[3]利用牛頓諧波平衡法分析非線性Jerk方程得到了高階近似解，得到的高階近似解在大參數(shù)情況下精度也比較高。Ma等[4]應用同倫攝動法求解非線性Jerk方程得到的高階近似解比低階諧波平衡得到的近似解的精度高。Hu等[5－6]分別應用攝動法和改進的Mickens迭代法分析了非線性Jerk方程，其中高階近似角頻率是利用牛頓法求解非線性代數(shù)頻率方程得到。多尺度法[7－11]是求解非線性振動問題的一種重要方法，一般經(jīng)典的多尺度法對弱非線性問題的求解比較有效。Thomson[12]和Awrejcewicz等[13]用Krylov方法將攝動法推廣到處理不含線性恢復力的非線性振動問題。為了使多尺度法適用于強非線性振動問題，Pakdemirli等[14]將 Lindstedt-Poincare方法與多尺度法結合提出了改進的多尺度法并成功的運用于二階非線性振動問題的求解;Hu等[15]將Lindstedt-Poincare方法與兩變量展開法結合提出改進的兩變量展開法，改進的兩變量展開法和改進的多尺度法的求解效果相同，但計算同一個問題時前者的計算量要小一些。本文將應用改進的兩變量展開法求解非線性Jerk方程的高階近似解。

1 改進的兩變量展開法

由文獻[2]可知，含有三次非線性項Jerk方程的一般形式為:

其中:參數(shù) γ，α，β，δ，ε和a0是常數(shù)。這里的β，δ和ε至少有一個是非零。如果ε=0，則要求δ≠－2α，這是為了使Jerk方程不能簡化成加速度對時間求導的方程。將方程(1)改寫為:

其中:p為嵌入?yún)?shù)表示方程(1)右邊的三次非線性項函數(shù)。引入兩個時間尺度:

對時間t的各階導數(shù)可以表示成:

其中:D0表示，D1表示用 Lindstedt-Poincare方法將方程(3)的周期解和角頻率用p的冪級數(shù)形式表示:

或:

其中:ωi為待定參數(shù)。將式(8)和式(10)代入方程(3)和初始條件(2)，比較方程兩邊p的同次冪系數(shù)可以得到以下線性偏微分方程組和相應的初始條件

依次求解以上的線性偏微分方程組，通過消除長期項將逐次待定常數(shù)ωi，從而可以依次計算xi(η，ξ)。

2 算例

不失一般性，考慮α=ε=1，β=δ=γ=0時，方程(1)變成以下方程:

線性偏微分方程組(11)～(13)變成:

方程(15)的解為:

其中:cc表示前面項的共軛復數(shù)。將式(18)代入方程(16)化簡得到:

消除長期項要求:

則:

從方程(21)可知A為常數(shù)，考慮x0滿足的初始條件可得:

將式(23)代入方程(22)，則:

將式(23)代入式(18)得:

方程(19)的解為:

將式(18)和(26)代入方程(17)化簡得:

消除長期項要求

則:

從方程(29)可知 B為常數(shù)，考慮x1滿足的初始條件可得:

將式(23)和(31)代入方程(30)求解ω2得:

將式(23)和(32)代入式(26)，x1的表達式為:

則方程(27)的解為:

其中:

將x0，x1和x2代入三階方程可以確定C為常數(shù)，考慮x2滿足的初始條件可得:

將式(37)代入式(34)得:

令嵌入?yún)?shù)p=1，則方程(14)的一階近似周期解xa1(t)為:

其中角頻率ω由以下方程給出:

將方程兩邊同乘以ω2，則方程(40)變成:

求解方程(41)得到ω2的正根為:

一階近似角頻率 ωa1為:

由式(43)給出的一階近似角頻率表達式與諧波平衡法[2－3]、攝動法[4－5]和迭代法[6]得到的一階近似角頻率表達式一致。其相應的一階近似周期Ta1為:

用同樣的方法可以得到方程(14)的二階近似周期解為:

其中頻率ω由以下方程確定:

整理方程(46)得:

利用牛頓法將方程(47)線性化，將ω2看作加上一個修正項Δ，即:

其中:

二階近似角頻率ωa2為:

或:

由式(49)～(53)給出的二階近似角頻率與Hu[5]用攝動法得到的二階近似角頻率是一致的。其相應的二階周期為:

3 討論

為了說明文中給出的近似解的有效性。用TW2表示W(wǎng)u等[3]由改進諧波平衡法得到的二階近似周期，TM2表示Ma等[4]由同倫攝動法得到的二階近似周期，TH2表示Hu等[6]由迭代法得到二階近似周期。表1給出各近似周期與方程(14)的精確周期Te在不同初始值a0的比較。表2給出在不同的初始值a0時各近似周期誤差的比較。從表1和表2可以看出當初始值a0=1時，一階近似周期和各二階近似周期與方程(12)的精確周期相等。當初始值a0＜1時，Ta2和TH2比TW2和TM2要精確得多。近似周期Ta2和TH2比精確周期大，而近似周期TW2和TM2均比精確周期小;當初始值a0＞1時，所有近似周期均比精確周期小。文中給出二階近似周期Ta2的精度不如TW2，TW2和TH2的精度，但二階近似周期最差的精度僅為－0.235%。從表1和表2可以看出改進的兩變量展開法能夠有效地處理這類不含速度線性項非線性Jerk方程。

圖1～圖3分別給出了一階近似周期解xa1和二階近似周期解xa2在初始值a0等于0.1，2和20時與數(shù)值解xnum的位移時間曲線圖的比較，其數(shù)值解xnum是通過用Runge-Kutta法求解Jerk方程(14)得到。從圖1～圖3可以看出在不同初始值a0，二階近似周期解與數(shù)值解都吻合得很好，二階近似周期解的精度比一階近似周期解的精度高很多。當初始值a0較小時，一階近似周期解的誤差比較大，隨著初始值a0的增大，一階近似周期解的與數(shù)值解的絕對誤差先減小后增大。但是一階近似周期解在初始值a0＞1時比初始值 a0＜1時的精度要高。

表1 各近似周期與精確周期的比較Tab.1 Comparison the approximate periods with the exact periods

表2 各近似周期誤差的比較Tab.2 Comparison the relative percentage error of approximate periods

圖1 當 a0=0.1，Te=25.359 725時，各階近似周期解與數(shù)值解的比較Fig.1 Comparison the approximate solutions with the numerically exact solution for a0=0.1，Te=25.359 725

圖2 當 a0=2.0，Te=3.508 793 0時，各階近似周期解與數(shù)值解的比較Fig.2 Comparison the approximate solutions with the numerically exact solution for a0=2.0，Te=3.508 793 0

圖3 當a0=20，Te=0.370 580時，各階近似周期解與數(shù)值解的比較Fig.3 Comparison the approximate solutions with the numerically exact solutionfor a0=20，Te=0.370 580

文中給出的算例不含速度線性項，如果用經(jīng)典的多尺度法和經(jīng)典的兩變量展開法求解，則需要在方程(14)兩邊添加一個線性項ω20x·(ω0≠0)。但這樣做使求解得到的近似周期解和近似角頻率都與ω0有關，ω0的選取直接影響近似解的精度，當ω0選擇不合適時，近似解的誤差將非常大。因此經(jīng)典的多尺度法和經(jīng)典的兩變量展開法不再適用于求解不含速度線性項的非線性Jerk方程。然而改進的兩變量展開法結合了Lindstedt-Poincare展開技術，利用式(10)將線性項系數(shù)γ表示成系統(tǒng)的頻率ω和待定參數(shù)ωi的冪級數(shù)形式，即使γ=0式(10)也成立。利用改進的兩變量展開法求解方程(14)得到的近似周期解和近似周期與線性項系數(shù)γ無關，因此改進的兩變量展開法能夠用于求解非線性Jerk方程，甚至在γ=0的情況下該方法仍然有效。

4 結論

本文應用改進的兩變量展開法求解非線性Jerk方程的近似解。與經(jīng)典多尺度法不同是該方法結合Lindstedt-Poincare展開技術，因此在求解非線性Jerk方程時，即使Jerk方程不含速度線性項改進的兩變量展開法對Jerk方程求解仍然有效。文中給出了一個不含速度線性項的非線性Jerk方程的例子，其高階近似頻率是利用牛頓法求解頻率非線性代數(shù)方程得到。從圖表可以看出由改進的兩變量展開法得到的二階近似解的精度很高。結果表明，改進的兩變量展開法對非線性Jerk方程求解非常有效，該方法還可以應用于求解其它類似的三階微分方程。

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