等截面鐵摩辛柯梁－抗轉(zhuǎn)阻尼器系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)特性

陳 勇，劉 盼

(浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310058)

在加強層和外框架柱之間放置阻尼器是一種新穎的高層建筑振動控制方法[1－2]，這種結(jié)構(gòu)體系可以看成為懸臂梁－抗轉(zhuǎn)阻尼器系統(tǒng)[1]。最近的研究將該懸臂梁近似為歐拉－伯努利梁，阻尼器也只考慮單個[1]。然而實際結(jié)構(gòu)的模態(tài)往往還表現(xiàn)出剪切型特征，采用鐵摩辛柯梁可以更準(zhǔn)確表達(dá)這種特征。因此，本文將研究對象明確為一個等截面鐵摩辛柯梁連接多個抗轉(zhuǎn)阻尼器的結(jié)構(gòu)體系。

關(guān)于該類型結(jié)構(gòu)體系的研究尚未見文獻(xiàn)報道。文獻(xiàn)中所見的含有抗轉(zhuǎn)阻尼器的系統(tǒng)中的梁通常為歐拉－伯努利梁。例如，Impollonia等[3]研究了附加彎曲剛度的索(帶張力的梁)并在端部連有粘滯抗轉(zhuǎn)阻尼器和彈簧時的動力特性。Krenk[4]給出了連接抗轉(zhuǎn)阻尼器的梁結(jié)構(gòu)的復(fù)模態(tài)分析。通過求解傳遞函數(shù)的根軌跡，Engelen等[5]推導(dǎo)了阻尼系統(tǒng)的復(fù)數(shù)特征值，并給出了求解系統(tǒng)最大阻尼比和最優(yōu)阻尼系數(shù)的近似方程。Oliveto等[6]給出了兩端連有抗轉(zhuǎn)阻尼器的簡支梁的自由振動的精確解。

鐵摩辛柯梁－阻尼器系統(tǒng)的運動方程具有較為復(fù)雜的表達(dá)形式，方程中還包含狄拉克函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，因此直接在復(fù)數(shù)域求解相對困難。Wu等[7]提出的NAM(Numerical Assembly Method)思想可以得到一個線性系統(tǒng)耦合連接離散子系統(tǒng)的自由振動解析解，其應(yīng)用前提是該線性系統(tǒng)的解析解已知。等截面鐵摩辛柯梁的自由振動解已有了大量研究成果[8－11]，表明基于NAM的思想來求解一個等截面鐵摩辛柯梁連接多個離散子系統(tǒng)后所形成的耦合系統(tǒng)是可行的。實際上，部分文獻(xiàn)對具有實數(shù)頻率的等截面鐵摩辛柯梁連接線性彈簧、抗轉(zhuǎn)彈簧、質(zhì)量塊的問題進(jìn)行了研究，并獲得了相應(yīng)的解析解[12－13]。

本文首先建立了帶有任意數(shù)量抗轉(zhuǎn)阻尼器的等截面鐵摩辛柯梁的自由振動控制方程，并進(jìn)行了無量綱化。然后基于NAM思想推導(dǎo)了該鐵摩辛柯梁－抗轉(zhuǎn)阻尼器系統(tǒng)的無量綱精確解及特征方程，此特征方程適用于不同邊界情況。通過構(gòu)造實數(shù)函數(shù)，進(jìn)行了復(fù)特征方程根的復(fù)數(shù)域數(shù)值求解，獲得了波數(shù)、系統(tǒng)阻尼比及模態(tài)，并與有限元結(jié)果進(jìn)行了比較驗證。通過數(shù)值分析進(jìn)行了連接單個抗轉(zhuǎn)阻尼器系統(tǒng)的阻尼器最優(yōu)安裝位置、最大阻尼比及相應(yīng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)的研究。并將連接阻尼器后的鐵摩辛柯梁與歐拉－伯努利梁結(jié)果進(jìn)行了比較。

1 運動方程及解析解

帶有N個抗轉(zhuǎn)阻尼器的等截面鐵摩辛柯梁系統(tǒng)如圖1所示，圖中○中數(shù)字表示抗轉(zhuǎn)阻尼器的編號，Cdn(n=1，…，N)表示第n個抗轉(zhuǎn)阻尼器的阻尼系數(shù)。坐標(biāo)系如圖所示，坐標(biāo)原點在左端。該系統(tǒng)的振動控制方程為:

圖1 等截面鐵摩辛柯梁－抗轉(zhuǎn)阻尼器系統(tǒng)Fig.1 A system of a uniform Timoshenko beam with rotational dampers

其中:y(x，t)為梁的橫向位移，φ(x，t)為由彎曲變形引起的截面轉(zhuǎn)角，κ'為截面的剪切系數(shù)，G為剪切模量，A為截面面積，E為楊氏模量，I為截面慣性矩，ρ為梁的質(zhì)量密度，L為梁的跨度，t為時間。

式(1)、(2)可解耦獲得:

式(3)、(4)的解可分別寫為:

其中引入無量綱參數(shù)

將式(5)、(6)、(7)代入式(3)及(4)，可得:

其中:

方程(8)、(9)的解分別為

其中:Fj(j=1，…，4)與 F'j(j=1，…，4)為待定系數(shù)，波數(shù) λ1，2為:

將式(13)、(14)代入式(1)中可得到各系數(shù)關(guān)系如下:

其中:

式(13)、(14)分別代表了梁橫向位移和由彎曲變形引起的截面轉(zhuǎn)角的幅值函數(shù)。通過將梁在阻尼器位置斷開，整個梁可以分成(N+1)個節(jié)段，每個節(jié)段自由振動幅值函數(shù)都可以由式(13)、(14)表示。節(jié)段連接部位左右截面的不平衡彎矩與抗轉(zhuǎn)阻尼器提供的彎矩之和為零。因此整個系統(tǒng)的邊界條件由兩端位移邊界條件、各連接點處的位移連續(xù)條件和力平衡條件組成。寫成矩陣形式，可以得到:

對于N個抗轉(zhuǎn)阻尼器系統(tǒng)，系數(shù)向量F可以表示為如下形式:

其中:Fn={Fn1，F(xiàn)n2，F(xiàn)n3，F(xiàn)n4}，n表示該系數(shù)屬于第n個節(jié)段。Fnj(j=1，…，4)為第n個節(jié)段的4個待定系數(shù)。整體系數(shù)矩陣D可以表示為:

其中:0為零矩陣;Dn1和 Dn2(n=1，2，…，N)為4 ×4 的方陣，可通過第n個連接點處的位移連續(xù)條件和力平衡條件得到;DL和DR為2×4的矩陣，可分別通過梁左右兩端的位移邊界條件得到。

1.1 Dn1及Dn2的表達(dá)式

根據(jù)式(13)、(14)，第n個節(jié)段的橫向位移和由彎曲變形引起的截面轉(zhuǎn)角可表示為:

由第n個連接點處的位移連續(xù)條件可以得到:

由第n個連接點處的力平衡條件，即彎矩平衡和剪力平衡條件可以得到:

其中:上標(biāo)‘R’表示梁節(jié)段的右端截面，上標(biāo)‘L’表示梁節(jié)段的左端截面。

將式(21)、(22)代入式(23)～(26)得:

式(27)～(30)式寫為矩陣形式:

其中:

且:

1.2 DL及 DR的表達(dá)式

圖2給出了幾種具有不同端部約束條件下的梁示意圖。各個梁的DL和DR可根據(jù)相應(yīng)邊界條件得到。以左端為自由端的懸臂梁為例，給出DL和DR的形式。

懸臂梁左端自由端的邊界條件為:

將式(13)、(14)分別代入式(38)、(39)可得:

式(40)、(41)可寫為如下矩陣形式:

其中:

懸臂梁右端固支邊界的邊界條件為:

將式(13)、(14)分別代入式(44)、(45)可得:

式(46)、(47)可寫為:

其中:

對于圖2中的其他邊界情況，相應(yīng)的子矩陣DL和DR由下面的式(50)、(51)和(52)給出。

對于圖2(b)中的簡支梁，

對于圖2(c)中的一端鉸支一端固支梁，

對于圖2(d)中的兩端固支梁，

圖2 幾種等截面鐵摩辛柯梁－抗轉(zhuǎn)阻尼器系統(tǒng)Fig.2 Uniform-Timoshenko-beam-rotational-damper systems

2 求解特征方程復(fù)數(shù)解

式(18)的非平凡解要求系數(shù)矩陣D行列式為零，即:

式(53)就是系統(tǒng)復(fù)頻率的特征方程。令:

則對給定的誤差ε和初始~ω值，目標(biāo)函數(shù)χ的最小值即為使式(54)最接近于零的值。

考慮到式(53)具有無窮多個解，因此在求解中需設(shè)定合適的初始值?？刹捎脹]有阻尼器連接時的梁的頻率值作為初始值。

由上述方法求得的自振頻率具有復(fù)共軛對的形式。本文主要考慮自振頻率具有如下形式，即:

其中:ξ為系統(tǒng)阻尼比，ω0為偽無阻尼自振頻率。它們可表示為:

通過將已求得的~ω代入到式(18)中，利用高斯消去法可以求得各個待定系數(shù)Fnj與F11的關(guān)系，則可根據(jù)式(13)獲得模態(tài)振型。

3 數(shù)值計算分析

本節(jié)所有計算實例所選取的梁均采用以下參數(shù):長度 L=1 m，密度 ρ=7 836.7 kg/m3，彈性模量 E=2×1011N/m2，剪切系數(shù) κ'=5/6，泊松比 υ =0.3，剪切模量，截面寬度 b=0.05 m，截面高度 h=0.15 m。

3.1 連接多個阻尼器的系統(tǒng)

考慮左端鉸支右端固支的梁，坐標(biāo)原點設(shè)在鉸支端。該梁連接兩個抗轉(zhuǎn)阻尼器，其位置分別為=0.3和=0.6。保持0.3位置的阻尼器阻尼系數(shù)C1=0.5不變，變化另一個阻尼器的阻尼系數(shù)，變化范圍為 C2=0 ～1.5，變化增量為 0.001，可得到如圖3(a)所示的系統(tǒng)頻率的根軌跡圖。根軌跡圖中的箭頭表示參數(shù)變化的方向。圖3(b)為結(jié)構(gòu)前五階模態(tài)的實數(shù)部分，圖3(c)為結(jié)構(gòu)前五階模態(tài)的虛數(shù)部分，其中||=max|()|。由圖 3 可以看出，本文解析解所得結(jié)果和有限元法(FEM)結(jié)果非常接近，驗證了該解析解的正確性。另外，從圖中可以看出該系統(tǒng)表現(xiàn)出較強的復(fù)模態(tài)振動特性，即相位差的存在致使梁上各點振動不會同時達(dá)到最大值。這是由于抗轉(zhuǎn)阻尼器所提供的系統(tǒng)阻尼不屬于比例阻尼。

3.2 系統(tǒng)阻尼比和相應(yīng)的阻尼系數(shù)

圖3 一端簡支一端固支的鐵摩辛柯梁帶有兩個抗轉(zhuǎn)阻尼器時的前5階根軌跡圖和模態(tài)Fig.3 First five root loci and mode shapes of a hinged-clamped Timoshenko beam with two rotational dampers

圖4 帶有單個阻尼器的懸臂梁前5階根軌跡圖及阻尼比Fig.4 First five root loci and damping ratios of a cantilever beam with single rotational damper

圖5 前5階模態(tài)的最大阻尼比及相應(yīng)最優(yōu)阻尼系數(shù)隨阻尼器位置的變化Fig.5 Maximum damping ratios and corresponding optimum damping coefficients varying with damper’s position

圖6 兩種梁的系統(tǒng)振動特性對比Fig.6 Comparison of Timoshenko beam system and Euler-Bernoulli beam system

考慮帶有單個阻尼器的右端固支懸臂梁，坐標(biāo)原點設(shè)在自由端。對于阻尼器位置 ~x1=0.5時的情形，圖4(a)給出了相應(yīng)的根軌跡圖，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的頻率隨著阻尼系數(shù)的增加而增加，阻尼比并沒有一直隨著阻尼系數(shù)的增加而增加。相應(yīng)地，圖4(b)給出了由式(57)得到的阻尼比隨阻尼系數(shù)的變化情況?？梢?當(dāng)阻尼器位置 ~x1確定時，存在一個最大阻尼比ξmax;對不同的模態(tài)，最大阻尼比ξmax所對應(yīng)的阻尼系數(shù)Copt(最優(yōu)阻尼系數(shù))并不相同。

圖5(a)給出了最大阻尼比ξmax隨阻尼器位置~x1的變化關(guān)系。每一階模態(tài)都可以找到一個最優(yōu)阻尼器位置，使得最大阻尼比ξmax取最大值，記作系統(tǒng)最大阻尼比ξtmax。一階模態(tài)的系統(tǒng)最大阻尼比 ξtmax達(dá)到了0.809 72，并隨著模態(tài)階次的增加而減少，第5階模態(tài)的ξtmax為0.104 38。鐵摩辛柯梁安裝單個抗轉(zhuǎn)阻尼器時的對應(yīng)于第m(m=1，…，5)階模態(tài)的最優(yōu)安裝位置為梁的2m等分點，且靠近自由端的等分點位置對應(yīng)的模態(tài)阻尼比較大。這與文獻(xiàn)[1]中歐拉梁的結(jié)果相近，即最優(yōu)安裝位置近似服從以下規(guī)律:

3.3 等截面鐵摩辛柯梁和歐拉－伯努利梁結(jié)果比較

考慮帶有單個阻尼器的右端固支懸臂梁振動系統(tǒng)，阻尼器位置為 ~x1=0.5，分別采用鐵摩辛柯梁及歐拉－伯努利梁進(jìn)行分析。圖6給出兩種梁的對應(yīng)于前五階模態(tài)的自振頻率及阻尼比隨阻尼系數(shù)的變化。從圖中可看出，抗轉(zhuǎn)阻尼器對歐拉－伯努利梁系統(tǒng)的自振頻率提高相對較大。歐拉－伯努利梁系統(tǒng)的對應(yīng)于奇數(shù)階模態(tài)的阻尼比相對于鐵摩辛柯梁更高，偶數(shù)階則相反。

4 結(jié)論

針對帶有抗轉(zhuǎn)阻尼器的等截面鐵摩辛柯梁的自由振動問題，本文推導(dǎo)了系統(tǒng)的精確解及特征方程，并給出了在復(fù)數(shù)域求解特征方程的方法。參數(shù)分析表明:

(1)該非比例阻尼系統(tǒng)存在系統(tǒng)最大阻尼比和最優(yōu)阻尼系數(shù)。該系統(tǒng)表現(xiàn)出較強的復(fù)模態(tài)振動特性，即相位差的存在致使梁上各點振動不會同時達(dá)到最大值。

(2)懸臂鐵摩辛柯梁連接單個阻尼器時:系統(tǒng)的頻率隨著阻尼系數(shù)的增加而增加;第m階模態(tài)的最優(yōu)阻尼器安裝位置為梁的各個2m等分點，且靠近自由端的等分點位置對應(yīng)的模態(tài)阻尼比較大;與采用歐拉－伯努利梁分析得到的結(jié)果相近。一階模態(tài)的系統(tǒng)最大阻尼比ξtmax達(dá)到了0.809 72，并隨著模態(tài)階次的增加而減少。

(3)將連接抗轉(zhuǎn)阻尼器的鐵摩辛柯梁和歐拉－伯努利梁比較表明，最優(yōu)阻尼器安裝位置較為接近。將阻尼器安裝在跨中時，抗轉(zhuǎn)阻尼器對歐拉－伯努利梁系統(tǒng)的自振頻率提高相對較大，獲得的第一階模態(tài)阻尼比也相對于鐵摩辛柯梁更高。

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