反向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子碰摩振動(dòng)分析

陳松霆，吳志強(qiáng)

(天津大學(xué) 機(jī)械學(xué)院力學(xué)系，天津 300072)

目前，雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)已經(jīng)在國內(nèi)外的各種飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)上得到廣泛應(yīng)用，相對(duì)于單轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，雙轉(zhuǎn)子的渦輪和壓氣機(jī)在減輕氣流喘振方面具有較大的優(yōu)勢(shì)，而雙轉(zhuǎn)子反向旋轉(zhuǎn)有助于減小系統(tǒng)的陀螺效應(yīng)，因此對(duì)反向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子的研究具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。同時(shí)在雙轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中，內(nèi)外轉(zhuǎn)子之間隨著轉(zhuǎn)速的變化必然會(huì)產(chǎn)生耦合作用，碰摩作為內(nèi)外轉(zhuǎn)子之間相互作用的一種，也是各國學(xué)者研究的熱門方向。Ferraris和Lalanne等[1－2]對(duì)反向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了預(yù)測分析。Muszynska 和 Mxjszynska 等[3－5]對(duì)轉(zhuǎn)靜碰摩現(xiàn)象進(jìn)行了研究。國內(nèi)也有很多學(xué)者對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和碰摩現(xiàn)象進(jìn)行了理論和試驗(yàn)的研究，羅貴火等[6－8]對(duì)反向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)和力學(xué)特性做了較為系統(tǒng)的研究。晏礪堂和岳國金等[9－10]對(duì)轉(zhuǎn)子碰摩特征進(jìn)行了分析。本文則是對(duì)內(nèi)外轉(zhuǎn)子之間無聯(lián)接軸承的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行研究，并分析各種系統(tǒng)參數(shù)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，為雙轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)提供一定的參考價(jià)值。

本文綜合采用了Ferraris的雙轉(zhuǎn)子模型[1]和岳國金的碰摩模型[10]，建立運(yùn)動(dòng)微分方程，并分析了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，討論了粘性阻尼系數(shù)、碰摩剛度系數(shù)和支撐彈簧剛度對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。

1 系統(tǒng)模型的建立

雙轉(zhuǎn)子碰摩系統(tǒng)的簡化模型如圖1、2所示。圖1模型參考了文獻(xiàn)[1]中的雙轉(zhuǎn)子模型，由兩個(gè)轉(zhuǎn)子構(gòu)成，內(nèi)轉(zhuǎn)子代表低壓轉(zhuǎn)子，外轉(zhuǎn)子代表高壓轉(zhuǎn)子。模型中轉(zhuǎn)子是對(duì)稱的，軸的橫截面是個(gè)定值。滾珠軸承在A，B，D支撐點(diǎn)處的剛度被假設(shè)成極大值，所以轉(zhuǎn)子在A，B，D處可看成是簡支，內(nèi)轉(zhuǎn)子的軸半徑為R1，盤的半徑為R2，盤的厚度為H1;外轉(zhuǎn)子的軸內(nèi)半徑為R3，外半徑為R4，盤的半徑為R5，盤的厚度為H2;在本文模型中雙轉(zhuǎn)子存在粘性阻尼系數(shù)λ;L，l1，l2，l3，l4含義如圖1所示;圖2為雙轉(zhuǎn)子在C點(diǎn)處的碰摩模型[6]，雙轉(zhuǎn)子之間可以認(rèn)為是彈性接觸，該法向方向的彈性系數(shù)即碰摩剛度系數(shù)為kc，碰摩間隙r0如圖1上所示，且忽略摩擦引起的熱效應(yīng)，同時(shí)外轉(zhuǎn)子在X和Z方向各有支撐彈簧kXX和 kZZ存在。

圖1 雙轉(zhuǎn)子模型Fig.1 Model of the dual-rotor system

圖2 C點(diǎn)處碰摩模型Fig.2 Rub-impact model at point C

1.1 轉(zhuǎn)子位移表達(dá)式

由文獻(xiàn)[1]知內(nèi)轉(zhuǎn)子在x，z方向的線位移為:

角位移為:

外轉(zhuǎn)子假設(shè)為剛體，所以外轉(zhuǎn)子在x，z方向振動(dòng)的線位移為:

角位移為:

由于g2是一個(gè)常數(shù)，所以:

上述表達(dá)式中q1，q2為內(nèi)轉(zhuǎn)子軸的形心的水平和垂直位移;q3，q4為外轉(zhuǎn)子在 C點(diǎn)處軸心的水平和垂直位移。

1.2 碰摩力表達(dá)式

由于在本文中高壓轉(zhuǎn)子與低壓轉(zhuǎn)子之間的短時(shí)接觸被認(rèn)為是彈性接觸，而且忽略摩擦引起的熱效應(yīng)，如圖2所示，則假設(shè)碰摩轉(zhuǎn)子之間的摩擦服從庫侖摩擦定律，碰摩力[10]為:式中為兩轉(zhuǎn)子之間的間隙。

FN1，F(xiàn)T1，F(xiàn)N2，F(xiàn)T2分別為低壓轉(zhuǎn)子和高壓轉(zhuǎn)子在碰摩作用下受到的法向力和切向力。

將四個(gè)力在x，z方向投影后得到:碰摩對(duì)內(nèi)轉(zhuǎn)子的作用力:

碰摩對(duì)外轉(zhuǎn)子的作用力:

1.3 不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的激振力表達(dá)式

激振力是由不平衡質(zhì)量mu偏離轉(zhuǎn)動(dòng)軸距離d產(chǎn)生的，當(dāng)不平衡質(zhì)量位于圓盤D1，y=l1處時(shí)，Ω1為內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，力的表達(dá)式為:

當(dāng)不平衡質(zhì)量mu位于圓盤D2，y=l3處時(shí)，Ω2為外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，力的表達(dá)式為:

1.4 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

由轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論[11]和拉格朗日方程可推導(dǎo)出雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

其中:MD是圓盤質(zhì)量;IDX，IDY分別是盤相對(duì) x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;S是軸橫切面面積，I是軸對(duì)中性軸的截面慣性矩;P為轉(zhuǎn)子的重力;E是楊氏模量;ρ是材料密度;λ為粘性阻尼系數(shù);下標(biāo)1，2分別代表內(nèi)轉(zhuǎn)子和外轉(zhuǎn)子。

2 系統(tǒng)振動(dòng)分析

2.1 系統(tǒng)的參數(shù)

為了便于分析研究系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，選取合適的系統(tǒng)參數(shù)就非常重要，本文雙轉(zhuǎn)子碰摩系統(tǒng)簡化模型[1]內(nèi)轉(zhuǎn)子長度L=0.4 m，內(nèi)轉(zhuǎn)子軸半徑R=0.02 m，內(nèi)轉(zhuǎn)子盤的半徑 R=0.15 m，盤的厚度H1=0.03 m，外轉(zhuǎn)子軸的內(nèi)半徑 R3=0.03 m，外半徑R4=0.035 m，盤的半徑R5=0.1 m，材料的彈性模量E=2 ×1011N/m2，材料密度 ρ=7 800 kg/m3，內(nèi)外轉(zhuǎn)子初始轉(zhuǎn)角差φ=π/3，內(nèi)轉(zhuǎn)子受到的重力P1=197.63 N，外轉(zhuǎn)子受到的重力P2=50.47 N，粘性阻尼系數(shù)選取λ=600 Ns/m做參考值[6]，支撐彈簧剛度選kXX=kZZ=8×106N/m做參考值，碰摩剛度系數(shù)選取kc=5×106N/m為參考值，碰摩間隙選r0=0.001 3 m為參考值，摩擦系數(shù)μ取0.1，雙轉(zhuǎn)子盤上的不平衡質(zhì)量選mu1d=mu2d=10 g·mm為參考值，如果r大于等于r0，sta的值取1，否則sta=0。同時(shí)經(jīng)過計(jì)算分析:A1=7.906 kg，A2=1.570 5 kg，a1=2.892 5 kg，a2=0.355 8 kg，k1=1.913×107N/m。

下面我們將采用Runge-Kutta法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解，并對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析。

2.2 不同轉(zhuǎn)速下反向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)

選取內(nèi)外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速比為1∶1.5，并計(jì)算轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在300～2 000 rad/s(即約為3 000 r/min～20 000 r/min)范圍內(nèi)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，圖3和圖4分別是系統(tǒng)外轉(zhuǎn)子和內(nèi)轉(zhuǎn)子的分岔圖，圖5(a)和(b)是內(nèi)轉(zhuǎn)子分別在轉(zhuǎn)速900～1 050 rad/s和1 030～1 080 rad/s范圍內(nèi)的分岔圖，分岔圖中橫坐標(biāo)的數(shù)值代表內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速W與額定轉(zhuǎn)速w0=1 000 rad/s的比值，圖6(a)～(f)則是系統(tǒng)內(nèi)轉(zhuǎn)子在不同轉(zhuǎn)速下的龐加萊截面圖，計(jì)算結(jié)果表明:雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的內(nèi)外轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)規(guī)律基本一致，當(dāng)系統(tǒng)的內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為300～940 rad/s時(shí)內(nèi)外轉(zhuǎn)子的分岔圖都為一條曲線，內(nèi)轉(zhuǎn)子龐加萊圖也近似為一個(gè)點(diǎn)，這表明雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為940～1 070 rad/s時(shí)，系統(tǒng)的分岔圖形變得較為復(fù)雜，內(nèi)轉(zhuǎn)子的龐加萊圖在內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為950 rad/s時(shí)呈環(huán)狀圖形，這表明內(nèi)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為擬周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為1 060 rad/s時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)子在此轉(zhuǎn)速附近范圍的分岔圖為兩條分岔曲線，龐加萊圖近似為兩個(gè)點(diǎn)，這表明內(nèi)轉(zhuǎn)子在做倍周期運(yùn)動(dòng)，在此整個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變化趨勢(shì)為周期運(yùn)動(dòng)→擬周期運(yùn)動(dòng)→倍周期運(yùn)動(dòng)→周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為1 070～2 000 rad/s時(shí)，系統(tǒng)的分岔圖又變?yōu)橐粭l曲線，龐加萊圖則近似為一個(gè)點(diǎn)，這表明系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為周期運(yùn)動(dòng)。

圖3 外轉(zhuǎn)子分岔圖Fig.3 Bifurcation of external rotor

圖4 內(nèi)轉(zhuǎn)子分岔圖Fig.4 Bifurcation of internal rotor

圖5 內(nèi)轉(zhuǎn)子在碰摩區(qū)域的分岔圖Fig.5 Bifurcation of internal rotor in rubbing region

圖6 內(nèi)轉(zhuǎn)子在不同轉(zhuǎn)速下的龐加萊截面圖Fig.6 Poincare of internal rotor at different speeds

圖7 (a)和(b)中只有W1一個(gè)頻率成成分，代表內(nèi)轉(zhuǎn)子在不同轉(zhuǎn)速下的不平衡力頻率，與分岔圖和龐加萊圖相對(duì)應(yīng)，表明在300～940 rad/s轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)系統(tǒng)未發(fā)生碰摩現(xiàn)象，保持周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài);圖7(c)中頻譜圖包含多個(gè)頻率成分，既有內(nèi)轉(zhuǎn)子不平衡力頻率W1，外轉(zhuǎn)子不平衡力頻率W2，也含有兩者的混合頻率成分，以及分頻成分，再與分岔圖和龐加萊圖相對(duì)應(yīng)，表明在此轉(zhuǎn)速系統(tǒng)發(fā)生碰摩，且非線性現(xiàn)象明顯，系統(tǒng)保持?jǐn)M周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài);圖7(d)中只包含兩個(gè)頻率成分，內(nèi)轉(zhuǎn)子不平衡力頻率W1和外轉(zhuǎn)子不平衡力頻率W2，且內(nèi)轉(zhuǎn)子的振幅能量強(qiáng)度明顯大于外轉(zhuǎn)子的振幅能量強(qiáng)度，表明系統(tǒng)正逐漸脫離碰摩狀態(tài);圖7(e)和(f)則表明系統(tǒng)脫離碰摩狀態(tài)，保持周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

從上面的分析結(jié)果可知，系統(tǒng)內(nèi)轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速約為1 000 rad/s，當(dāng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速接近臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，振動(dòng)強(qiáng)度加劇，振幅變大，從而使內(nèi)外轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生碰摩導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變的較為復(fù)雜，當(dāng)內(nèi)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，系統(tǒng)開始脫離共振區(qū)域，系統(tǒng)的振幅開始減小，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)又逐漸平穩(wěn)。這對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究有重要的參考價(jià)值。

圖7 內(nèi)轉(zhuǎn)子在不同轉(zhuǎn)速下的頻譜圖Fig.7 Spectrum of internal rotor at different speeds

圖8 碰摩時(shí)粘性阻尼系數(shù)不同時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)子分岔圖Fig.8 Bifurcation of internal rotor for different damping coefficients

2.3 粘性阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響

由于飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)的工作環(huán)境變化較大，因此它的粘性阻尼系數(shù)一般不為定值，因此研究確定合適的粘性阻尼系數(shù)變化范圍對(duì)飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)的安全運(yùn)行有重要的參考價(jià)值。圖8(a)～(d)為雙轉(zhuǎn)子發(fā)生碰摩情況下粘性阻尼系數(shù)不同時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)分岔圖，結(jié)果分析表明:隨著粘性阻尼的逐漸減小系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變得越來越復(fù)雜，而且保持系統(tǒng)平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的粘性阻尼系數(shù)變化范圍也在變小，系統(tǒng)在碰摩區(qū)域還容易出現(xiàn)徹底失穩(wěn)現(xiàn)象。當(dāng)λ≥450 Ns/m時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)沒有發(fā)生太大的變化，當(dāng)λ≤300 Ns/m時(shí)，系統(tǒng)在碰摩區(qū)域會(huì)出現(xiàn)徹底失穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。

以上分析表明，在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，要保持系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的平穩(wěn)性，控制選取合理的系統(tǒng)阻尼參數(shù)是非常必要的，對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)有一定的參考價(jià)值。

2.4 碰摩剛度系數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響

本文雙轉(zhuǎn)子之間的相互作用主要是通過碰摩產(chǎn)生，因此研究不同的碰摩剛度系數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響是非常必要的，圖9(a)～(d)是外轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在碰摩剛度系數(shù)不同條件下的運(yùn)動(dòng)分岔圖。結(jié)果分析表明:隨著碰摩剛度系數(shù)的增加，發(fā)生碰摩時(shí)外轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)會(huì)逐漸變大，甚是會(huì)出現(xiàn)徹底失穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。在圖9(a)和(b)中，當(dāng)kc≥1×107N/m時(shí)，碰摩區(qū)域隨著碰摩剛度系數(shù)的增加有變大的趨勢(shì)，且外轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由于在碰摩區(qū)域的X方向的振動(dòng)響應(yīng)值過大而導(dǎo)致在matlab中溢出而無法顯示，這表明外轉(zhuǎn)子在該碰摩區(qū)域容易出現(xiàn)徹底失穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);在圖9(c)和(d)中，當(dāng)kc≤5×106N/m時(shí)，碰摩區(qū)域隨著碰摩剛度系數(shù)的減小有逐漸縮小的趨勢(shì)，外轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在碰摩區(qū)域的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也變得較為平穩(wěn)。

圖9 碰摩剛度系數(shù)不同時(shí)外轉(zhuǎn)子的分岔圖Fig.9 Bifurcation of external rotor for different damping coefficients

以上分析表明，雙轉(zhuǎn)子之間的碰摩剛度系數(shù)不宜過大，否則容易出現(xiàn)徹底失穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，而且會(huì)導(dǎo)致碰摩區(qū)域變大，這對(duì)在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)內(nèi)外轉(zhuǎn)子聯(lián)接軸承的設(shè)計(jì)中選取合理的軸承剛度系數(shù)具有一定的參考價(jià)值。

圖10 支撐彈簧剛度系數(shù)不同時(shí)外轉(zhuǎn)子的分岔圖Fig.10 Bifurcation of external rotor for different support rigidity

2.5 約束彈簧剛度對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的影響

在本文雙轉(zhuǎn)子模型中，支撐彈簧主要作用在高壓轉(zhuǎn)子上，為了便于研究支撐彈簧剛度系數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，選取X方向支撐彈簧剛度kXX做系統(tǒng)變量，圖10(a)～(d)是外轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在支撐彈簧剛度系數(shù)不同時(shí)的運(yùn)動(dòng)分岔圖。結(jié)果分析表明:支撐彈簧剛度系數(shù)過小容易導(dǎo)致外轉(zhuǎn)子徹底失穩(wěn)。如圖10(a)和(b)，當(dāng)kXX≥8×106N/m時(shí)，外轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)較為平穩(wěn)，且在碰摩區(qū)域不會(huì)出現(xiàn)徹底失穩(wěn)現(xiàn)象;圖10(c)和(d)，外轉(zhuǎn)子在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)徹底失穩(wěn)，因此在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中，選取合適的支撐彈簧也是非常重要的。

3 結(jié)論

本文通過建立雙轉(zhuǎn)子碰撞摩擦運(yùn)動(dòng)模型，對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，結(jié)論如下:

(1)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)內(nèi)外轉(zhuǎn)子發(fā)生碰撞摩擦?xí)r會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的力學(xué)現(xiàn)象，出現(xiàn)多種頻率成分，在一定的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)擬周期和近似倍周期等復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);系統(tǒng)隨著轉(zhuǎn)速的增加在脫離共振區(qū)域后在一定條件下仍能保持較為平穩(wěn)的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(2)隨著粘性阻尼系數(shù)的逐漸減小，轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)有逐漸變大的趨勢(shì)，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)也逐漸變得復(fù)雜，系統(tǒng)的碰摩區(qū)域也有變大的趨勢(shì)。

(3)在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，選取適當(dāng)?shù)呐瞿偠群椭螐椈蓜偠葘?duì)保持系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性有重要的意義。

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