噪聲擾動下RLC串聯(lián)諧振電路隨機共振的數(shù)值研究

涂水林，鄔正義，吳正陽

(常熟理工學院 物理與電子工程學院，常熟 215500)

自從Benzi等在研究古氣象冰川問題時提出隨機共振概念以來，隨機共振的理論和實驗研究引起了人們的極大興趣。傳統(tǒng)的隨機共振是指在含有噪聲的非線性系統(tǒng)中合適的噪聲強度可以使得弱信號驅(qū)動下的輸出信噪比達到某一最大值，其本質(zhì)是部分噪聲能量轉(zhuǎn)化為了信號能量。隨著研究的不斷深入，隨機共振的研究范圍愈來愈得到拓展，從起初的非線性系統(tǒng)[1－2]到乘性色噪聲或分段噪聲驅(qū)動下的線性系統(tǒng)[3－10]，從傳統(tǒng)的隨機共振到廣義的隨機共振[11－15]等。

廣義隨機共振是指在有噪聲的系統(tǒng)中，由于輸入信號和噪聲的協(xié)作效應，系統(tǒng)輸出幅值或信噪比增益是噪聲或輸入信號的某個參數(shù)(噪聲強度、激勵信號的幅度或頻率等)的非單調(diào)函數(shù)這樣一種非線性現(xiàn)象。信噪比增益定義為輸出信噪比與輸入信噪比的比值，其與信噪比一直是傳統(tǒng)隨機共振的主要測度指標，若其取值大于1，表明系統(tǒng)對輸入有用信號可能有增強和改善作用，但也可能是系統(tǒng)對背景噪聲相對于有用信號而言進行了更強的抑制。進一步確認需引入另一測度指標——譜功率放大系數(shù)。

諧振是交流電路中一種特定的工作狀態(tài)，被廣泛地應用于實際電路中。諧振電路通常是由電阻、電感、電容元件構(gòu)成。本文采用四階Runge-Kutta算法，以信噪比增益和譜功率放大率為隨機共振測度指標，研究電容參數(shù)和激勵信號均受高斯白噪聲擾動時欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼三種情況下的RLC串聯(lián)諧振電路的隨機共振現(xiàn)象。研究過程表明，僅僅依據(jù)信噪比增益大于1并不能說明噪聲能量轉(zhuǎn)化為了信號能量或信號能量得到了加強和改善，只有在同時滿足譜功率放大率大于1的條件下，才能得出上述結(jié)論。研究結(jié)論使得將欠阻尼RLC串聯(lián)諧振電路應用于微弱信號檢測成為可能。

圖1 RLC串聯(lián)諧振電路Fig.1 RLC series resonant circuit

1 RLC諧振電路模型

描述圖1所示RLC串聯(lián)諧振電路的動態(tài)方程如式(1)所示。

式中:ui(t)為系統(tǒng)激勵信號;uo(t)為系統(tǒng)輸出信號。將式(1)進行拉普拉斯變換，并令，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

ξ和ωn分別是式(1)系統(tǒng)無噪聲時的阻尼系數(shù)和固有頻率。從傳遞函數(shù)的形式可以看出，這是一個典型的二階線性系統(tǒng)。當0＜ξ＜1、ξ＞1、ξ=1時，即系統(tǒng)參數(shù)時，系統(tǒng)將分別工作于欠阻尼、過阻尼、臨界阻尼三種工作狀態(tài)。

考慮系統(tǒng)激勵信號為強高斯白噪聲ζ1(t)背景下的弱正弦信號和電容參數(shù)C受到高斯白噪聲ζ2(t)的擾動，即 ui'(t)=Asin(2πf0t)+ ζ1(t)，C'=C(1+ζ2(t))，式中A是輸入信號的幅度，f0是輸入信號的頻率，C為無擾動時的電容值，ζ1(t)、ζ2(t)為高斯白噪聲，其均值和相關函數(shù)為:

式中:D1(量綱為[伏特]2)、D2(無量綱)分別是噪聲ζ1(t)、ζ2(t)的強度。這時，式(1)變?yōu)?

2 數(shù)值分析方法

式(3)描述的是一個二階微分方程的初值問題，可以歸結(jié)為一階微分方程組來求解。引進新變量x=du0/dt，則式(3)可以化為一階方程組初值問題:

為了使得數(shù)值計算具有較好的精度，采用了四階龍格－庫塔算法，具體形式為:

式中:

式中:uin，uon分別表示系統(tǒng)激勵信號 ui'(t)=Asin(2πf0t)+ζ1(t)、輸出信號uo(t)的第n個采樣值，C'(n)為電容受噪聲擾動后第n時刻的值，h=1/fs為時間步長，等于采樣頻率fs的倒數(shù)。

3 隨機共振測度指標

隨機共振的定量描述需要測度指標來刻畫，隨著隨機共振研究的不斷深入，隨機共振測度測度指標也一直是隨機共振研究的一個重要方面。常用的隨機共振測度指標有信噪比增益、信噪比、譜功率放大率、線性響應敏感度以及常用在非周期隨機共振上的互相關系數(shù)等。在傳統(tǒng)的隨機共振研究中，衡量隨機共振現(xiàn)象是否發(fā)生的依據(jù)是系統(tǒng)輸出信噪比對輸入噪聲強度呈現(xiàn)出非單調(diào)函數(shù)關系，而現(xiàn)在除了這一標準以外，根據(jù)廣義隨機共振的概念，若系統(tǒng)輸出幅值或信噪比增益是噪聲或輸入信號的某個參數(shù)(噪聲強度、激勵信號的幅度或頻率等)的非單調(diào)函數(shù)也可以就此判斷系統(tǒng)發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象。從系統(tǒng)對信號增強和改善的角度看，最直觀的衡量指標是信噪比增益和譜功率放大率，若這兩項指標均大于1才能說明系統(tǒng)具有增強和改善有用信號的作用。

在信號檢測及通信等領域中，常用的信噪比定義為:

式中:S(f0)為信號功率，是信號功率譜中f0頻率處的幅值，P為信號總功率，包括信號功率和噪聲功率，減去S(f0)后剩下的即為噪聲功率。

假設系統(tǒng)激勵信號為強高斯白噪聲背景下弱正弦信號Acos(2πf0t)+ζ1(t)，經(jīng)過采樣頻率為fs的采樣后得到長度為N的離散序列x(n)，通過四階Runge-Kutta算法數(shù)值求解得到系統(tǒng)的輸出信號y(n)，對y(n)進行FFT處理，可得其頻譜分布Y(k):

設Y(k0)為輸出端信號頻譜中f0頻率分量的幅值，且有，根據(jù)信噪比定義可得到輸出端信噪比:

同理，輸入端信號序列x(n)的信噪比可由下式得到:

式中:X(k0)為輸入端信號頻譜中f0頻率分量的幅值。

而信噪比增益和譜功率放大率則定義為:

式中:SNRgain為信噪比增益，SNRout為輸出端信噪比，SNRin為輸入端信噪比。

4 數(shù)值結(jié)果及分析

根據(jù)RLC串聯(lián)諧振電路動態(tài)方程表達式(3)，令L=25 mH，C=1 000 μF，則系統(tǒng)無擾動時諧振頻率為31.831 0 Hz。改變R的取值使系統(tǒng)分別處于欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼狀態(tài)，然后在考慮電容參數(shù)和弱輸入激勵信號受到高斯白噪聲擾動情況下，采用四階龍格－庫塔算法，仿真和分析信噪比增益和譜功率放大率與激勵信號頻率和噪聲強度的關系。選擇采樣頻率fs=180f0，步長 h=1/fs，采樣點數(shù) N=1 024，信噪比增益和譜功率放大率均取100次計算的平均值。

4.1 欠阻尼狀態(tài)

首先來看欠阻尼RLC串聯(lián)電路諧振時對噪聲能量的作用情況。

對式(3)描述的系統(tǒng)，令R=1 Ω，此時阻尼系數(shù)ξ=0.1，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。再令 f0=31.831 0 Hz，A=0.1，D1=2，D2=0.01，因此時激勵信號頻率等于系統(tǒng)無噪聲擾動時的諧振頻率，故系統(tǒng)也可認為處于諧振狀態(tài)。通過仿真得到系統(tǒng)輸入、輸出信號及其頻譜圖如圖2所示。圖2(a)為弱正弦有用信號，幅值為0.1，在與噪聲強度為2的高斯白噪聲疊加后時域波形如圖2(b)所示，信號已經(jīng)完全淹沒于噪聲中，對其進行FFT分析，得到噪聲背景下信號頻譜圖2(c)，從圖2(c)中無法確定有用信號的存在;將該含噪聲信號作為激勵信號輸入式(3)系統(tǒng)，并對系統(tǒng)輸出信號進行頻譜分析，得到輸出信號頻譜圖2(d)，可以看出，在圖2(d)中很容易分辨出有用信號頻率，表明系統(tǒng)在諧振狀態(tài)下具有很好的信噪比增益和譜功率放大率。若令A=0，僅僅將噪聲強度為2的高斯白噪聲輸入式(3)系統(tǒng)，其輸出頻譜圖如圖2(e)所示。

圖2 欠阻尼RLC串聯(lián)諧振電路諧振時輸入、輸出信號及其頻譜圖Fig.2 The input and output signals and their spectrums of underdamped RLC series resonant circuit at resonance

圖2 很清楚地顯示了RLC串聯(lián)諧振電路的選頻放大特性，它不僅能放大電路諧振頻率處的有用信號，而且能選擇性地增強諧振頻率處的噪聲信號。這就為將噪聲能量轉(zhuǎn)化為信號能量提供了條件。在圖2(d)、(e)中還可看出系統(tǒng)對大于諧振頻率的高頻噪聲信號具有很強的抑制作用。這和無擾動時欠阻尼二階系統(tǒng)頻率特性在低頻段呈現(xiàn)低通，頻率處出現(xiàn)谷峰，高頻段以－40 dB/十倍頻程下降的低通特性相符，表明欠阻尼二階系統(tǒng)在系統(tǒng)參數(shù)受到噪聲擾動后其頻率特性并未發(fā)生根本變化。

圖3 欠阻尼情況下信噪比增益和譜功率放大率與激勵信號頻率的關系Fig.3 The relation curves of SNR gain and spectral power magnification of underdamped circuit with the excitation signal frequency

保持上述其它參數(shù)不變，僅改變激勵信號頻率f0，并按照式(8)～(11)計算信噪比增益 SNRgain和譜功率放大率η，得到欠阻尼情況下信噪比增益和譜功率放大率與激勵信號頻率的關系曲線如圖3(a)、(b)所示;令D1=0，重復上述仿真計算得到無噪聲背景下信噪比增益和譜功率放大率與激勵信號頻率的關系曲線如圖3(c)、(d)所示。對比圖 3(a)、(b)和(c)、(d)，可以很明顯地看出輸入信號含有噪聲時系統(tǒng)輸出的信噪比增益和譜功率放大率比無噪聲背景時要大得多。且信噪比增益和譜功率放大率在外加激勵信號頻率接近系統(tǒng)固有頻率時出現(xiàn)了最大值，表明信噪比增益和譜功率放大率是激勵信號頻率的非單調(diào)函數(shù)。RLC串聯(lián)諧振電路是一個無源系統(tǒng)，在輸入噪聲強度不變的情況下信噪比增益和譜功率放大率出現(xiàn)峰值，且均大于1，這說明有用信號的能量得到了加強和改善，部分噪聲能量轉(zhuǎn)化為了信號能量，系統(tǒng)發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象。

由圖3還可看出，信噪比增益和譜功率放大率的峰值高度均隨著阻尼系數(shù)ξ的增大而減小，且共振峰隨著ξ增大而向激勵信號頻率變小的方向移動，所以較小的阻尼系數(shù)有利于信噪比增益和譜功率放大率的提高。

圖4 欠阻尼情況下信噪比增益和譜功率放大率與噪聲強度的關系Fig.4 The relation curves of SNR gain and spectral power magnification of underdamped circuit with the noise intensity

圖4 為欠阻尼狀態(tài)下電路諧振時信噪比增益和譜功率放大率與噪聲強度的關系曲線。為便于分析，令ζ1(t)=ζ2(t)，D1=D2=D(下同)。圖 4(a)說明隨著噪聲強度D的增大，信噪比增益也有峰值出現(xiàn)，即信噪比增益對噪聲強度呈現(xiàn)非單調(diào)依賴關系。圖4(b)表明譜功率放大率對噪聲強度為單調(diào)增關系，且其取值在ξ＜0.7時均大于1，這說明欠阻尼狀態(tài)下電路諧振時信號能量確實得到了改善。

4.2 臨界阻尼狀態(tài)

保持L、C參數(shù)值不變，將電阻R調(diào)整為10 Ω，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。圖5為臨界阻尼情況下信噪比增益與激勵信號頻率和噪聲強度的關系曲線，圖6為臨界阻尼情況下譜功率放大率與激勵信號頻率和噪聲強度的關系曲線。從圖5可以看出，信噪比增益是激勵信號頻率和噪聲強度的非單調(diào)函數(shù)，系統(tǒng)存在隨機共振現(xiàn)象。但圖6顯示在信噪比增益取得峰值時，其對應譜功率放大率均小于1，這說明信噪比的改善并不一定意味著信號能量的提高。

圖5 臨界阻尼情況下信噪比增益與激勵信號頻率和噪聲強度的關系Fig.5 The relation curves of the SNR gain of critical damping circuit with the excitation signal frequency and noise intensity

圖6 臨界阻尼情況下譜功率放大率與激勵信號頻率和噪聲強度的關系Fig.6 The relation curves of the spectral power magnification of critical damping circuit with the excitation signal frequency and noise intensity

4.3 過阻尼狀態(tài)

繼續(xù)調(diào)整電阻R的取值，使其分別為11 Ω、15 Ω、20 Ω、25 Ω、30 Ω，電路此時處于過阻尼狀態(tài)。圖 7 和圖8分別為過阻尼狀態(tài)下信噪比增益和譜功率放大率與激勵信號頻率和噪聲強度的關系曲線圖。從圖7可以看出，信噪比增益依然是激勵信號頻率和噪聲強度的非單調(diào)函數(shù)，系統(tǒng)同樣存在隨機共振現(xiàn)象。圖8與圖6顯示的結(jié)果一樣，即在臨界阻尼和過阻尼兩種狀態(tài)下，盡管信噪比增益在某一噪聲強度下取得了最大值，且取值大于1，但此時對應譜功率放大率小于1，結(jié)合分析表達式(6)，說明此時系統(tǒng)輸出信號中高頻噪聲能量相比信號能量得到了更大的抑制，而信號能量本身并未得到加強。

圖7 過阻尼情況下信噪比增益與激勵信號頻率和噪聲強度的關系Fig.7 The relation curves of the SNR gain of overdamping circuit with the excitation signal frequency and noise intensity

圖8 過阻尼情況下譜功率放大率與激勵信號頻率和噪聲強度的關系Fig.8 The relation curves of the spectral power magnification of overdamping circuit with the excitation signal frequency and noise intensity

5 結(jié)論

本文采用四階Runge-Kutta算法，以信噪比增益和譜功率放大率為隨機共振測度指標，通過數(shù)值仿真，研究了電容參數(shù)受高斯白噪聲擾動時欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼三種情況下的RLC串聯(lián)諧振電路的隨機共振現(xiàn)象。仿真分析結(jié)果表明:

(1)參數(shù)擾動下RLC串聯(lián)諧振電路在一定條件下的欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼狀態(tài)均存在隨機共振現(xiàn)象。

(2)臨界阻尼和過阻尼情況下盡管信噪比增益在一定條件下也是噪聲強度和輸入信號頻率的非單調(diào)函數(shù)，但此時譜功率放大率取值小于1，電路發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象，改善了信噪比，信號能量卻并未得到加強。

(3)在欠阻尼情況下，諧振狀態(tài)時的電路發(fā)生隨機共振現(xiàn)象非常明顯，尤其阻尼系數(shù)越小隨機共振效果越好。這一結(jié)論說明欠阻尼RLC串聯(lián)諧振電路可以利用隨機共振機制達到強噪聲背景下微弱信號檢測的目的。

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